Einstein tenía razón (otra vez): por qué los relojes lunares funcionan más rápido que los terrestres

Tabla de enlaces

Resumen y 1. Introducción

2. Reloj en órbita

   2.1 Tiempo de coordenadas

   2.2 Marco local para la Luna

3. Diferencias de frecuencia de reloj entre la Tierra y la Luna

4. Relojes en los puntos de Lagrance Tierra-Luna

   4.1 Reloj en el punto Lagrange L1

   4.2. Reloj en el punto Lagrange L2

   4.3. Reloj en el punto Lagrange L4 o L5

5. Conclusiones

Apéndice 1: Coordenadas de Fermi con origen en el centro de la Luna

Apéndice 2: Construcción de un marco de centro de masa en caída libre

Apéndice 3: Ecuaciones de movimiento de la Tierra y la Luna

Apéndice 4: Comparación de resultados en sistemas de coordenadas rotatorios y no rotatorios

Agradecimientos y referencias

A medida que la humanidad aspira a explorar el sistema solar e investigar mundos distantes como la Luna, Marte y más allá, existe una creciente necesidad de establecer y ampliar referencias de tiempo de coordenadas que dependen de la frecuencia de los relojes estándar. Según la teoría de la relatividad de Einstein, la frecuencia de un reloj estándar está influenciada por el potencial gravitatorio en la ubicación del reloj y el movimiento relativo del reloj. Una referencia de tiempo de coordenadas se establece mediante una red de relojes sincronizados que se pueden rastrear hasta un reloj ideal en un punto predeterminado en el espacio. Esto permite la comparación de las variaciones de tiempo local de los relojes debido a los efectos gravitacionales y cinemáticos. Presentamos un marco relativista para introducir un tiempo de coordenadas para la Luna. Este marco también establece una relación entre los tiempos de coordenadas de la Luna y la Tierra determinados por los relojes estándar ubicados en el geoide de la Tierra y el ecuador de la Luna. Un reloj cerca del ecuador de la Luna funciona más rápido que uno cerca del ecuador de la Tierra, acumulando 56,02 microsegundos adicionales por día durante la duración de una órbita lunar. Este formalismo se utiliza luego para calcular las frecuencias de reloj en los puntos de Lagrange Tierra-Luna. La estimación precisa de las diferencias de frecuencia de los tiempos de coordenadas en los cuerpos celestes y sus intercomparaciones utilizando relojes a bordo de orbitadores en puntos de Lagrange relativamente estables como enlaces de transferencia de tiempo es crucial para establecer una infraestructura de comunicaciones confiable. Esta comprensión también sustenta la navegación precisa en el espacio cislunar y en las superficies de los cuerpos celestes, desempeñando así un papel fundamental para garantizar la interoperabilidad de varios sistemas de posición, navegación y cronometraje (PNT) que abarcan desde la Tierra hasta la Luna y las regiones más lejanas del sistema solar interior.

1. INTRODUCCIÓN

Más de 50 años después del primer aterrizaje lunar, un consorcio multinacional, que incluye a la NASA, está trabajando para lograr un regreso a la Luna en virtud de los Acuerdos Artemis [1]. Nuestra capacidad para explorar mundos distantes requerirá el diseño y desarrollo de una infraestructura de comunicaciones y navegación dentro y fuera del espacio cislunar. Con la expectativa de un aumento significativo de los activos en la superficie lunar y en el espacio cislunar en el futuro cercano, el desarrollo de una arquitectura robusta para aplicaciones precisas de posicionamiento, navegación y cronometraje (PNT) se ha convertido en una cuestión de suma importancia.

Los sistemas de comunicación y navegación dependen de una red de relojes que se sincronizan entre sí en unas pocas decenas de nanosegundos. A medida que aumenta el número de activos en la superficie lunar, la sincronización de los relojes locales con mayor precisión mediante relojes remotos en la Tierra se vuelve difícil e ineficiente. Una solución óptima sería aprovechar la herencia de los sistemas globales de navegación por satélite (GNSS) imaginando un tiempo de sistema o constelación común a todos los activos y luego relacionando este tiempo con los relojes de la Tierra.

El marco relativista presentado aquí nos permite comparar las frecuencias de los relojes en la Luna y en los puntos de Lagrange cislunares con respecto a los relojes en la Tierra utilizando una métrica apropiada para un marco de caída libre local. El tiempo medido por un reloj en cualquier ubicación dada se conoce como el tiempo propio. La relatividad de la simultaneidad implica que no habrá dos observadores que estén de acuerdo en una secuencia dada de eventos si están en diferentes marcos de referencia [2]. En otras palabras, los relojes en diferentes marcos de referencia hacen tictac a diferentes velocidades. Los efectos gravitacionales y de movimiento afectan la velocidad de tictac de los relojes cuando se comparan con los relojes "ideales" que están en reposo y suficientemente lejos de cualquier masa gravitatoria. Por ejemplo, los relojes más alejados de la Tierra hacen tictac más rápido, y los relojes en movimiento uniforme harán tictac más lento con respecto a los relojes "ideales", y viceversa. Por lo tanto, la elección de un marco de referencia apropiado se vuelve esencial para obtener resultados autoconsistentes al comparar relojes en dos cuerpos celestes.

En este artículo, buscamos principalmente respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cuál es una buena elección para el sistema de coordenadas que se puede utilizar para relacionar los tiempos propios en la Tierra y la Luna? ¿Cuál es una elección apropiada para las ubicaciones de los relojes ideales en las superficies de la Tierra y la Luna que facilite la comparación de sus tiempos propios? ¿Cuál es la diferencia de tiempo propio entre los relojes de la Luna y la Tierra? ¿Cuáles son las diferencias de tiempo propio entre los relojes ubicados en los puntos de Lagrange Tierra-Luna y la Tierra? La estabilidad que ofrecen los puntos de Lagrange proporciona un entorno de bajo ruido de aceleración para las naves espaciales con relojes. Las correcciones relativistas para dichos relojes se pueden estimar con precisión ya que sus posiciones y velocidades están bien determinadas y se pueden utilizar para comparar los tiempos propios de los relojes en la Tierra, la Luna y en órbitas cislunares.

En la Sección 1, utilizamos el sistema de posicionamiento global (GPS) como ejemplo para ilustrar los efectos relativistas sobre los relojes si se trata a la Luna como un satélite artificial de la Tierra y obtenemos una estimación aproximada de las frecuencias de reloj en la Luna con respecto a los relojes en el geoide. La Sección 2 presenta un sistema de coordenadas de caída libre con su centro coincidiendo con el centro de masa de la Tierra y la Luna. La Sección 3 compara el desfase de frecuencia de un reloj en la superficie lunar con los relojes en el geoide que utilizan este sistema de coordenadas de caída libre, suponiendo que la Luna está en una órbita kepleriana alrededor de la Tierra. Los resultados se comparan con órbitas precisas para la Luna obtenidas utilizando las últimas efemérides planetarias DE440 [3]. La Sección 4 analiza los desfases de frecuencia de tiempo en los puntos de Lagrange Tierra-Luna L1, L2 y L4/L5. Las conclusiones y las perspectivas futuras se presentan en la Sección 5. Los Apéndices 1 y 2 presentan el marco para desarrollar la métrica utilizada en todos los cálculos. El Apéndice 3 justifica nuestras suposiciones de utilizar un modelo kepleriano que ignora los efectos de las mareas, y una discusión en el Apéndice 4 establece una covarianza general, lo que significa que los resultados son independientes de las coordenadas.