Einstein tenia raó (de nou): per què els rellotges lunars funcionen més ràpid que els de la Terra

Taula d'enllaços

Resum i 1. Introducció

2. Rellotge en òrbita

   2.1 Temps de coordenades

   2.2 Marc local per a la Lluna

3. Diferències de velocitat del rellotge entre la Terra i la Lluna

4. Rellotges als punts de Lagrance Terra-Lluna

   4.1 Rellotge al punt de Lagrange L1

   4.2. Rellotge al punt de Lagrange L2

   4.3. Rellotge al punt de Lagrange L4 o L5

5. Conclusions

Apèndix 1: Coordenades de Fermi amb l'origen al centre de la Lluna

Annex 2: Construcció del marc del centre de masses en caiguda lliure

Apèndix 3: Equacions del moviment de la Terra i la Lluna

Apèndix 4: Comparació de resultats en sistemes de coordenades rotatius i no rotatius

Agraïments i referències

A mesura que la humanitat aspira a explorar el sistema solar i investigar mons llunyans com la Lluna, Mart i més enllà, hi ha una necessitat creixent d'establir i ampliar les referències temporals de coordenades que depenen de la velocitat dels rellotges estàndard. Segons la teoria de la relativitat d'Einstein, la velocitat d'un rellotge estàndard està influenciada pel potencial gravitatori a la ubicació del rellotge i el moviment relatiu del rellotge. Una referència temporal de coordenades s'estableix mitjançant una quadrícula de rellotges sincronitzats traçables a un rellotge ideal en un punt predeterminat de l'espai. Això permet comparar les variacions de l'hora local dels rellotges a causa dels efectes gravitatoris i cinemàtics. Presentem un marc relativista per introduir un temps coordenat per a la Lluna. Aquest marc també estableix una relació entre els temps de coordenades de la Lluna i la Terra, tal com es determina mitjançant rellotges estàndard situats al geoide de la Terra i a l'equador de la Lluna. Un rellotge a prop de l'equador de la Lluna marca més ràpid que un a prop de l'equador de la Terra, acumulant 56,02 microsegons addicionals al dia durant la durada d'una òrbita lunar. Aquest formalisme s'utilitza llavors per calcular les velocitats del rellotge als punts de Lagrange Terra-Lluna. L'estimació precisa de les diferències de velocitat dels temps de coordenades entre els cossos celestes i les seves comparacions entre rellotges a bord d'orbitadors en punts de Lagrange relativament estables, ja que els enllaços de transferència de temps és crucial per establir una infraestructura de comunicacions fiable. Aquesta comprensió també sustenta una navegació precisa a l'espai cislunar i a les superfícies dels cossos celestes, jugant així un paper fonamental per garantir la interoperabilitat de diversos sistemes de posició, navegació i cronometratge (PNT) que abasten des de la Terra fins a la Lluna i fins a les regions més allunyades del sistema solar interior.

1. INTRODUCCIÓ

Més de 50 anys després del primer aterratge lunar, un consorci multinacional, que inclou la NASA, treballa per tornar a la Lluna en virtut dels acords d'Artemis [1]. La nostra capacitat per explorar mons llunyans requerirà el disseny i desenvolupament d'una infraestructura de comunicació i navegació dins i més enllà de l'espai cislunar. Amb l'expectativa d'un augment significatiu dels actius a la superfície lunar i a l'espai cislunar en un futur proper, el desenvolupament d'una arquitectura robusta per a aplicacions precises de posició, navegació i cronometratge (PNT) s'ha convertit en una qüestió d'interès primordial.

Els sistemes de comunicació i navegació es basen en una xarxa de rellotges que es sincronitzen entre si en unes poques desenes de nanosegons. A mesura que creix el nombre d'actius a la superfície lunar, sincronitzar els rellotges locals amb més precisió mitjançant rellotges remots a la Terra esdevé un repte i ineficient. Una solució òptima seria extreure's de l'herència dels sistemes globals de navegació per satèl·lit (GNSS) imaginant un sistema o un temps de constel·lació comú a tots els actius i relacionar aquest temps amb els rellotges de la Terra.

El marc relativista que es presenta aquí ens permet comparar les velocitats de rellotge a la Lluna i els punts de Lagrange cislunars respecte als rellotges de la Terra mitjançant una mètrica adequada per a un marc de caiguda localment lliure. El temps mesurat per un rellotge en un lloc donat es coneix com l'hora adequada. La relativitat de simultaneïtat implica que dos observadors no estaran d'acord en una seqüència d'esdeveniments donada si es troben en marcs de referència diferents [2]. En altres paraules, els rellotges de diferents marcs de referència passen a diferents ritmes. Els efectes gravitatoris i de moviment afecten la velocitat dels rellotges en comparació amb els rellotges "ideals" que estan en repòs i prou allunyats de qualsevol massa gravitatòria. Per exemple, els rellotges més allunyats de la Terra passen més ràpid, i els rellotges en moviment uniforme passaran més lent respecte als rellotges "ideals", i viceversa. Per tant, triar un marc de referència adequat esdevé essencial per obtenir resultats autoconsistents quan es comparen rellotges de dos cossos celestes.

En aquest article, principalment busquem respostes a les preguntes següents: Quina és una bona opció per al sistema de coordenades que es pot utilitzar per relacionar els temps adequats a la Terra i la Lluna? Quina és una opció adequada per a les ubicacions dels rellotges ideals a les superfícies de la Terra i la Lluna que facilita la comparació dels seus temps adequats? Quina és la diferència horària adequada entre els rellotges de la Lluna i de la Terra? Quines són les diferències horàries adequades entre els rellotges situats als punts de Lagrange Terra-Lluna i la Terra? L'estabilitat que ofereixen els punts de Lagrange proporciona un entorn de soroll de baixa acceleració per a naus espacials amb rellotges. Les correccions relativistes d'aquests rellotges es poden estimar amb precisió, ja que les seves posicions i velocitats estan ben determinades i es poden utilitzar per comparar els temps adequats dels rellotges de la Terra, la Lluna i les òrbites cislunars.

A la secció 1, utilitzem el sistema de posicionament global (GPS) com a exemple per il·lustrar els efectes relativistes sobre els rellotges si la Lluna es tracta com un satèl·lit artificial de la Terra i obtenim una estimació aproximada de les velocitats de rellotge a la Lluna respecte als rellotges del geoide. La secció 2 introdueix un sistema de coordenades de caiguda lliure amb el seu centre coincidint amb el centre de massa de la Terra i la Lluna. La secció 3 compara el desplaçament de velocitat d'un rellotge a la superfície lunar amb els rellotges del geoide utilitzant aquest sistema de coordenades de caiguda lliure, suposant que la Lluna es troba en una òrbita kepleriana al voltant de la Terra. Els resultats es comparen amb òrbites precises de la Lluna obtingudes mitjançant les últimes efemèrides planetàries DE440 [3]. La secció 4 analitza les compensacions de la velocitat de temps als punts de Lagrange L1, L2 i L4/L5. Les conclusions i les perspectives de futur es presenten a la secció 5. Els apèndixs 1 i 2 presenten el marc per desenvolupar la mètrica utilitzada en tots els càlculs. L'apèndix 3 justifica les nostres hipòtesis d'utilitzar un model keplerià ignorant els efectes de les marees, i una discussió a l'apèndix 4 estableix la covariància general, el que significa que els resultats són independents de les coordenades.