任意次元のハミルトン系の線形安定性の組合せ論：GITシーケンス：低

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• 付録A. 安定性、クライン・モーザー定理、改良点と参考文献

4. GITシーケンス: 低次元

ここでは、[AFKM] の説明に従って、周期軌道の研究におけるグローバル トポロジカル手法について説明します。これらの手法は、分岐、安定性、固有値構成、正規族の存在に対する障害、B サインなどを視覚的かつリソース効率の高い方法でエンコードします。

GITシーケンスは、次の式で与えられるマップと空間のシーケンスである。

そして、上記により、安定点は、マップの GIT シーケンスを指定された行列に適用した結果になります。

4.1. GITシーケンス: 2D.最も単純なケース、つまり自由度2の自律ハミルトニアンのケースから始めます。この場合、簡約モノドロミー行列はSp(2) = SL(2, R)の要素になります。

Broucke の安定性図は、単純に 3 つの要素に分割された実数直線です (図 1 を参照)。2 つの軌道が図の異なる要素にある場合、それらの軌道を結合するファミリには常に分岐があります。これは、図のトポロジーから、それらの間のパスは ±1 固有値 (それぞれ分岐または周期倍分岐に対応) を横切る必要があることが示唆されるためです。

安定性指数は、図 1 の中間層にある 2 つの楕円枝を「折り畳む」ものと考えることができます。これらの 2 つの枝は、Krein の符号 [Kre2; Kre3] と一致する B 符号で区別されます。対称軌道には追加の最上層があり、そこでは各双曲枝が 2 つに分かれ、最上層から中間層への折り畳みマップがあります。1 つの枝から別の枝 (たとえば、正の双曲枝 I から正の双曲枝 II) に移動するには、最上層のトポロジーにより、固有値 1 を横切る必要があることに注意してください。これは、たとえ Broucke 図の同じコンポーネントに投影されるとしても、それらを結合する任意の (対称) ファミリで分岐を予期する必要があることを意味します。このように、図によって提供される情報は、対称軌道の場合にはるかに洗練されています。 2 つの軌道が通常の軌道円筒で結合できる場合、それらの軌道は質的に同等であるとすると、GIT シーケンス内の空間の位相は、2 つの軌道が質的に同等でないかどうかを判断する基準を与えます。要約すると、

• B 記号は対称軌道の双曲分岐を「分離」します。

• 2 つの軌道が Broucke 図の異なる要素にある場合、それらを結ぶパスには必ず分岐があります。

• 2つの対称軌道がBroucke図の同じ要素にあるが、B符号が異なる場合、それらを結ぶ任意の（対称）パスで分岐が発生することも予想される[1]。

4.2. GITシーケンス: 3D 。今度は同じ考え方を、3自由度を持つ自律ハミルトン系に適用します。この場合、簡約モノドロミー行列はSp(4)の要素になります。

GIT シーケンス [FM] は、図 3 に示すように、この図に 2 つのレイヤーを追加します。最上層には、各双曲固有値に対して、中間層よりも 2 つの追加ブランチがあります。関連する空間の組み合わせ論とグローバル トポロジーは 2D の場合よりも複雑ですが、直感的なアイデアは同じです。つまり、対称軌道の情報量が豊富で、質的に同等になるまでより多くの軌道を区別できます。この次元では 2 組の固有値があり、B 署名は (±, ±) の符号のペアであるため、最上層には Broucke 図の各コンポーネント (非実数コンポーネントを除く) に対して 4 つのブランチがあることに注意してください。

[1] 理論的には軌道は分岐することなくマズロフサイクルを接線方向に通過する可能性があるため、数学的な表現ではなく「期待する」という言葉を慎重に使用します。