任意维汉密尔顿系统的线性稳定性组合：GIT 序列：低

链接表

• 抽象的
• 介绍
• 准备工作
• B 签名
• GIT 序列：低维度
• GIT 序列：任意维度
• 附录 A. 稳定性、Krein–Moser 定理以及改进和参考文献

4. GIT序列：低维度

我们现在讨论周期轨道研究中的全局拓扑方法，如 [AFKM] 中所述。这些方法以直观且资源高效的方式编码：分岔、稳定性、特征值配置、正则族存在的障碍和 B 符号。

GIT 序列是以下映射和空间的序列：

然后，根据上述内容，稳定点是将 GIT 映射序列应用于给定矩阵的结果。

4.1. GIT 序列：2D。我们从最简单的情况开始，即具有两个自由度的自治哈密顿量的情况，这样简化的单值化矩阵是 Sp(2) = SL(2, R) 中的一个元素。

那么，布鲁克稳定图就是一条简单的实线，分为三个部分；见图 1。如果两个轨道位于图的不同部分，那么在连接它们的任何族中总会存在分岔，因为图的拓扑结构意味着它们之间的任何路径都必须穿过 ±1 个特征值（分别对应于分岔或倍周期分岔）。

可以认为稳定性指数将图 1 中间层的两个椭圆分支“折叠”在一起。这两个分支以 B 符号区分，与 Krein 符号 [Kre2；Kre3] 相一致。对称轨道有一个额外的顶层，现在每个双曲分支分成两个，并且从顶层到中间层有一个折叠映射。请注意，要从一个分支转到另一个分支（例如从正双曲分支 I 到正双曲分支 II），顶层的拓扑意味着需要跨越特征值 1。这意味着，任何连接它们的（对称）家族都应该出现分叉，即使它们投射到 Broucke 图的同一组件。这样，对于对称轨道的情况，图给出的信息更加精确。如果我们说，如果两条轨道可以通过一个规则的轨道圆柱连接起来，那么它们就是定性等价的，那么 GIT 序列中的空间拓扑给出了判断两条轨道是否定性等价的标准。总结一下：

• 对于对称轨道，B 符号为“分离的”双曲分支。

• 如果两条轨道位于布鲁克图的不同组成部分，则连接它们的任何路径总会有分叉。

• 如果两个对称轨道位于布鲁克图的同一分量中，但 B 符号不同，则连接它们的任何（对称）路径也会出现分叉[1]。

4.2. GIT 序列：3D 。现在我们应用相同的想法，但针对具有三个自由度的自治哈密顿系统，其中简化单值矩阵是 Sp(4) 中的元素。

GIT 序列 [FM] 为该图添加了两层，如图 3 所示。对于每个双曲特征值，顶层比中间层多出两个分支。虽然所涉及的空间的组合和全局拓扑比 2D 情况更复杂，但直观的想法仍然相同，即对称轨道的信息量更丰富，并且我们可以区分更多轨道，直至定性等价。请注意，由于在这个维度中我们有两对特征值，B 签名是一对 (±, ±) 符号，因此顶层在 Broucke 图的每个组件（非实数组件除外）上都有 4 个分支。

[1] 我们谨慎地使用“预期”这个词，而不是给出一个数学表述，因为理论上轨道可以切向穿过马斯洛夫循环而不会分叉。