Combinatoria de estabilidad lineal para sistemas hamiltonianos en dimensión arbitraria: secuencia GIT: baja

Tabla de enlaces

• Abstracto
• Introducción
• Preliminares
• La firma B
• Secuencia GIT: dimensiones bajas
• Secuencia GIT: dimensión arbitraria
• Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias

4. Secuencia GIT: dimensiones bajas

Ahora discutiremos métodos topológicos globales en el estudio de órbitas periódicas, siguiendo la exposición en [AFKM]. Estos métodos codifican: bifurcaciones; estabilidad; configuraciones de valores propios; obstáculos a la existencia de familias regulares; y señales B, de forma visual y eficiente en el uso de recursos.

La secuencia GIT es la secuencia de mapas y espacios dada por

Entonces, por lo anterior, el punto de estabilidad es el resultado de aplicar la secuencia de mapas GIT a la matriz dada.

4.1. Secuencia GIT: 2D. Comenzamos con el caso más simple, es decir, el caso de un hamiltoniano autónomo de dos grados de libertad, de modo que la matriz de monodromía reducida es un elemento en Sp(2) = SL(2, R).

El diagrama de estabilidad de Broucke es entonces simplemente la línea real, dividida en tres componentes; ver Figura 1. Si dos órbitas se encuentran en diferentes componentes del diagrama, entonces siempre hay bifurcaciones en cualquier familia que las una, ya que la topología del diagrama implica que cualquier camino entre ellas tiene que cruzar los valores propios ±1 (correspondientes respectivamente a la bifurcación o bifurcación que duplica el período).

Se puede pensar que el índice de estabilidad "colapsa" juntas las dos ramas elípticas de la capa media de la Figura 1. Estas dos ramas se distinguen por los signos B, que coinciden con los signos de Kerin [Kre2; Kre3]. Hay una capa superior adicional para órbitas simétricas, donde ahora cada rama hiperbólica se separa en dos, y hay un mapa colapsado desde la capa superior a la media. Tenga en cuenta que para pasar de una rama a la otra (digamos de la rama hiperbólica positiva I a la rama hiperbólica positiva II), la topología de la capa superior implica que es necesario cruzar el valor propio 1. Esto significa que se deberían esperar bifurcaciones en cualquier familia (simétrica) que las una, incluso si se proyectan al mismo componente del diagrama de Broucke. De esta forma, la información que da el diagrama es mucho más refinada para el caso de órbitas simétricas. Si decimos que dos órbitas son cualitativamente equivalentes si pueden estar unidas por un cilindro de órbita regular, entonces la topología de los espacios en la secuencia GIT da criterios para determinar cuándo dos órbitas no son cualitativamente equivalentes. Para resumir:

• B-signos de ramas hiperbólicas “separadas”, para órbitas simétricas.

• Si dos órbitas se encuentran en diferentes componentes del diagrama de Broucke, siempre hay bifurcaciones en cualquier camino que las una.

• Si dos órbitas simétricas se encuentran en el mismo componente del diagrama de Broucke, pero si los signos B difieren, también se debería esperar una bifurcación en cualquier camino (simétrico) que las una[1].

4.2. Secuencia GIT: 3D . Ahora aplicamos la misma idea, pero para sistemas hamiltonianos autónomos con tres grados de libertad, para los cuales las matrices de monodromía reducida son elementos en Sp(4).

La secuencia GIT [FM] agrega dos capas a este diagrama, como se muestra en la Figura 3. La capa superior tiene dos ramas adicionales que la del medio, para cada valor propio hiperbólico. Si bien la combinatoria y la topología global de los espacios involucrados es más complicada que en el caso 2D, la idea intuitiva sigue siendo la misma, es decir, que la cantidad de información para órbitas simétricas es más rica y que podemos distinguir más órbitas hasta la equivalencia cualitativa. . Tenga en cuenta que como en esta dimensión tenemos dos pares de valores propios, la firma B es un par (±, ±) de signos y, por lo tanto, la capa superior tiene 4 ramas sobre cada componente del diagrama de Broucke (excepto el componente no real).

[1] Usamos con cautela la palabra "esperar" en lugar de dar una declaración matemática, ya que teóricamente las órbitas podrían pasar tangencialmente a través del ciclo de Maslov sin bifurcarse.