मनमाने आयाम में हैमिल्टोनियन प्रणालियों के लिए रैखिक स्थिरता का संयोजन: जीआईटी अनुक्रम: निम्न

लिंक की तालिका

• अमूर्त
• परिचय
• प्रारंभिक
• बी-हस्ताक्षर
• जीआईटी अनुक्रम: निम्न आयाम
• जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम
• परिशिष्ट A. स्थिरता, क्रेन-मोजर प्रमेय, और परिशोधन और संदर्भ

4. जीआईटी अनुक्रम: निम्न आयाम

अब हम [AFKM] में प्रस्तुतीकरण के बाद, आवधिक कक्षाओं के अध्ययन में वैश्विक टोपोलॉजिकल विधियों पर चर्चा करते हैं। ये विधियाँ दृश्य और संसाधन-कुशल तरीके से द्विभाजन; स्थिरता; आइगेनवैल्यू विन्यास; नियमित परिवारों के अस्तित्व में अवरोध; और बी-संकेतों को एनकोड करती हैं।

जीआईटी अनुक्रम मानचित्रों और स्थानों का अनुक्रम है जो निम्न द्वारा दिया गया है

फिर, उपरोक्त के अनुसार, स्थिरता बिंदु दिए गए मैट्रिक्स पर मानचित्रों के जीआईटी अनुक्रम को लागू करने का परिणाम है।

4.1. जीआईटी अनुक्रम: 2डी. हम सबसे सरल मामले से शुरू करते हैं, यानी दो डिग्री स्वतंत्रता के एक स्वायत्त हैमिलटोनियन का मामला, ताकि कम मोनोड्रोमी मैट्रिक्स Sp(2) = SL(2, R) में एक तत्व हो।

ब्रोके स्थिरता आरेख तब केवल वास्तविक रेखा है, जो तीन घटकों में विभाजित है; चित्र 1 देखें। यदि दो कक्षाएँ आरेख के विभिन्न घटकों में स्थित हैं, तो उन्हें जोड़ने वाले किसी भी परिवार में हमेशा द्विभाजन होते हैं, क्योंकि आरेख की टोपोलॉजी का तात्पर्य है कि उनके बीच किसी भी पथ को ±1 आइगेनवैल्यू (क्रमशः द्विभाजन या अवधि-दोगुना द्विभाजन के अनुरूप) को पार करना होगा।

कोई यह सोच सकता है कि स्थिरता सूचकांक चित्रा 1 की मध्य परत में दो अण्डाकार शाखाओं को एक साथ "ढहता" है। इन दो शाखाओं को बी-संकेतों द्वारा पहचाना जाता है, जो कि क्रेन संकेतों [Kre2; Kre3] के साथ मेल खाते हैं। सममित कक्षाओं के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष परत है, जहां अब प्रत्येक हाइपरबोलिक शाखा दो में अलग हो जाती है, और ऊपर से मध्य परत तक एक ढहने वाला मानचित्र होता है। ध्यान दें कि एक शाखा से दूसरी शाखा में जाने के लिए (धनात्मक हाइपरबोलिक शाखा I से धनात्मक हाइपरबोलिक शाखा II तक कहें), शीर्ष परत की टोपोलॉजी का अर्थ है कि आइगेनवैल्यू 1 को पार करना होगा। इसका मतलब यह है कि किसी को भी (सममित) परिवार में उन्हें जोड़ने वाले द्विभाजन की उम्मीद करनी चाहिए, भले ही वे ब्रोके आरेख के एक ही घटक को प्रोजेक्ट करते हों अगर हम कहें कि दो कक्षाएँ गुणात्मक रूप से समतुल्य हैं यदि उन्हें एक नियमित कक्षा सिलेंडर द्वारा जोड़ा जा सकता है, तो जीआईटी अनुक्रम में रिक्त स्थानों की टोपोलॉजी यह निर्धारित करने के लिए मानदंड देती है कि कब दो कक्षाएँ गुणात्मक रूप से समतुल्य नहीं हैं। संक्षेप में:

• सममित कक्षाओं के लिए बी-चिह्न हाइपरबोलिक शाखाओं को “अलग” करते हैं।

• यदि दो कक्षाएँ ब्रोके आरेख के विभिन्न घटकों में स्थित हैं, तो उन्हें जोड़ने वाले किसी भी पथ में हमेशा द्विभाजन होता है।

• यदि दो सममित कक्षाएँ ब्रोके आरेख के एक ही घटक में स्थित हैं, लेकिन यदि बी-संकेत भिन्न हैं, तो किसी को उनसे जुड़ने वाले किसी भी (सममित) पथ में द्विभाजन की भी उम्मीद करनी चाहिए[1]।

4.2. जीआईटी अनुक्रम: 3डी । अब हम उसी विचार को लागू करते हैं, लेकिन तीन डिग्री स्वतंत्रता वाले स्वायत्त हैमिल्टनियन सिस्टम के लिए, जिसके लिए कम मोनोड्रोमी मैट्रिसेस Sp(4) में तत्व हैं।

जीआईटी अनुक्रम [एफएम] इस आरेख में दो परतें जोड़ता है, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है। प्रत्येक हाइपरबोलिक आइगेनवैल्यू के लिए शीर्ष परत में मध्य की तुलना में दो अतिरिक्त शाखाएँ हैं। जबकि इसमें शामिल स्थानों की संयोजन और वैश्विक टोपोलॉजी 2D मामले की तुलना में अधिक जटिल है, सहज ज्ञान युक्त विचार अभी भी वही है, यानी सममित कक्षाओं के लिए जानकारी की मात्रा अधिक समृद्ध है, और हम गुणात्मक तुल्यता तक अधिक कक्षाओं को अलग कर सकते हैं। ध्यान दें कि इस आयाम में हमारे पास आइगेनवैल्यू के दो जोड़े हैं, बी-हस्ताक्षर संकेतों की एक जोड़ी (±, ±) है, और इसलिए शीर्ष परत में ब्रोके आरेख के प्रत्येक घटक पर 4 शाखाएँ हैं (गैर-वास्तविक घटक को छोड़कर)।

[1] हम गणितीय कथन देने के बजाय सावधानी से “उम्मीद” शब्द का उपयोग करते हैं, क्योंकि सैद्धांतिक रूप से कक्षाएँ बिना विभाजन के मास्लोव चक्र से गुज़र सकती हैं।