임의 차원의 해밀턴 시스템에 대한 선형 안정성 조합: GIT 시퀀스: 낮음

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4. GIT 시퀀스: 낮은 차원

이제 우리는 [AFKM]의 설명에 이어 주기 궤도 연구에서 전역 위상학적 방법을 논의합니다. 이러한 메서드는 다음을 인코딩합니다. 안정; 고유값 구성; 정규 가족의 존재에 대한 방해; 시각적이고 자원 효율적인 방식으로 B-사인을 사용합니다.

GIT 시퀀스는 다음과 같이 주어진 맵과 공간의 시퀀스입니다.

그런 다음 위의 내용에 따라 안정성 지점은 주어진 행렬에 GIT 맵 시퀀스를 적용한 결과입니다.

4.1. GIT 시퀀스: 2D. 우리는 가장 간단한 경우, 즉 자유도가 2인 자율 해밀턴의 경우부터 시작합니다. 따라서 감소된 단일 행렬은 Sp(2) = SL(2, R)의 요소입니다.

Broucke 안정성 다이어그램은 세 가지 구성 요소로 분할된 실제 선입니다. 그림 1을 참조하세요. 두 개의 궤도가 다이어그램의 서로 다른 구성 요소에 있는 경우 다이어그램의 토폴로지는 두 궤도 사이의 모든 경로가 ±1 고유값(각각 분기점에 해당)을 교차해야 함을 의미하므로 이를 결합하는 모든 계열에는 항상 분기점이 있습니다. 또는 기간이 두 배로 늘어난 분기).

안정성 지수는 그림 1의 중간 레이어에 있는 두 개의 타원 가지를 함께 "붕괴"한다고 생각할 수 있습니다. 이 두 가지 가지는 케린 표시 [Kre2; 크레3]. 대칭 궤도를 위한 추가 상단 레이어가 있습니다. 이제 각 쌍곡선 가지가 두 개로 분리되고 상단에서 중간 레이어까지 축소 맵이 있습니다. 한 분기에서 다른 분기로 이동하려면(예: 양의 쌍곡선 분기 I에서 양의 쌍곡선 분기 II로) 최상위 레이어의 토폴로지는 고유값 1을 교차해야 함을 의미합니다. 이는 Broucke 다이어그램의 동일한 구성 요소에 투영되는 경우에도 결합하는 모든 (대칭) 패밀리에서 분기를 예상해야 함을 의미합니다. 이러한 방식으로 다이어그램에서 제공하는 정보는 대칭 궤도의 경우 훨씬 더 정제됩니다. 두 궤도가 일반 궤도 원통으로 결합될 수 있는 경우 질적으로 동일하다고 말하면 GIT 시퀀스의 공간 토폴로지는 두 궤도가 질적으로 동일하지 않을 때마다 결정하는 기준을 제공합니다. 요약하자면:

• B 기호는 대칭 궤도에 대해 "별도의" 쌍곡선 가지를 나타냅니다.

• Broucke 다이어그램의 서로 다른 구성 요소에 두 개의 궤도가 있는 경우 두 궤도를 연결하는 경로에는 항상 분기점이 있습니다.

• 두 개의 대칭 궤도가 Broucke 다이어그램의 동일한 구성 요소에 있지만 B 기호가 다른 경우 이를 연결하는 모든 (대칭) 경로에서도 분기가 예상됩니다[1].

4.2. GIT 시퀀스: 3D . 이제 우리는 동일한 아이디어를 적용하지만, 3개의 자유도를 갖는 자율 해밀턴 시스템에 적용합니다. 이 시스템의 경우 감소된 단일 행렬은 Sp(4)의 요소입니다.

GIT 시퀀스[FM]는 그림 3과 같이 이 다이어그램에 두 개의 레이어를 추가합니다. 최상위 레이어에는 각 쌍곡선 고유값에 대해 중간 레이어보다 두 개의 추가 분기가 있습니다. 관련된 공간의 조합론과 전역 위상이 2D 경우보다 더 복잡하지만 직관적인 아이디어는 여전히 동일합니다. 즉, 대칭 궤도에 대한 정보의 양이 더 풍부하고 질적 동등성까지 더 많은 궤도를 구별할 수 있다는 것입니다. . 이 차원에는 두 쌍의 고유값이 있으므로 B 서명은 부호 쌍(±, ±)이므로 최상위 레이어에는 Broucke 다이어그램의 각 구성 요소(비실수 구성 요소 제외)에 대해 4개의 분기가 있습니다.

[1] 이론적으로 궤도는 분기 없이 마슬로프 주기를 접선으로 통과할 수 있기 때문에 수학적 설명을 제공하기보다는 "기대"라는 단어를 조심스럽게 사용합니다.