Kombinatorik der linearen Stabilität für Hamiltonsysteme in beliebiger Dimension: GIT-Sequenz: niedrig

Linktabelle

• Abstrakt
• Einführung
• Vorbemerkungen
• Die B-Signatur
• GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen
• GIT-Sequenz: beliebige Dimension
• Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

4. GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen

Wir diskutieren nun globale topologische Methoden in der Untersuchung periodischer Umlaufbahnen, gemäß der Darstellung in [AFKM]. Diese Methoden kodieren: Bifurkationen, Stabilität, Eigenwertkonfigurationen, Hindernisse für die Existenz regulärer Familien und B-Zeichen auf eine visuelle und ressourceneffiziente Weise.

Die GIT-Folge ist die Folge von Abbildungen und Räumen, die gegeben ist durch

Dann ist gemäß dem oben Gesagten der Stabilitätspunkt das Ergebnis der Anwendung der GIT-Abbildungsfolge auf die gegebene Matrix.

4.1. GIT-Sequenz: 2D. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, nämlich dem Fall eines autonomen Hamiltonoperators mit zwei Freiheitsgraden, so dass die reduzierte Monodromiematrix ein Element in Sp(2) = SL(2, R) ist.

Das Broucke-Stabilitätsdiagramm ist dann einfach die reelle Linie, aufgeteilt in drei Komponenten; siehe Abbildung 1. Wenn zwei Umlaufbahnen in verschiedenen Komponenten des Diagramms liegen, gibt es in jeder Familie, die sie verbindet, immer Bifurkationen, da die Topologie des Diagramms impliziert, dass jeder Pfad zwischen ihnen die ±1-Eigenwerte kreuzen muss (was jeweils einer Bifurkation oder einer Periodenverdoppelungs-Bifurkation entspricht).

Man kann sich vorstellen, dass der Stabilitätsindex die beiden elliptischen Zweige in der mittleren Schicht von Abbildung 1 zusammenfallen lässt. Diese beiden Zweige werden durch die B-Zeichen unterschieden, die mit den Krein-Zeichen übereinstimmen [Kre2; Kre3]. Es gibt eine zusätzliche obere Schicht für symmetrische Bahnen, in der sich nun jeder hyperbolische Zweig in zwei Teile aufteilt, und es gibt eine kollabierende Abbildung von der oberen zur mittleren Schicht. Beachten Sie, dass die Topologie der oberen Schicht impliziert, dass der Eigenwert 1 überschritten werden muss, um von einem Zweig zum anderen zu gelangen (sagen wir vom positiven hyperbolischen Zweig I zum positiven hyperbolischen Zweig II). Dies bedeutet, dass man in jeder (symmetrischen) Familie, die sie verbindet, mit Bifurkationen rechnen muss, selbst wenn sie auf dieselbe Komponente des Broucke-Diagramms projizieren. Auf diese Weise sind die durch das Diagramm gelieferten Informationen für den Fall symmetrischer Bahnen viel verfeinert. Wenn wir sagen, dass zwei Umlaufbahnen qualitativ äquivalent sind, wenn sie durch einen regulären Umlaufzylinder verbunden werden können, dann liefert die Topologie der Räume in der GIT-Sequenz Kriterien, um zu bestimmen, wann zwei Umlaufbahnen qualitativ nicht äquivalent sind. Zusammenfassend lässt sich sagen:

• B-Zeichen „separate“ hyperbolische Zweige für symmetrische Umlaufbahnen.

• Wenn zwei Umlaufbahnen in unterschiedlichen Komponenten des Broucke-Diagramms liegen, gibt es auf den Pfaden, die sie verbinden, immer Verzweigungen.

• Wenn zwei symmetrische Orbits in der gleichen Komponente des Broucke-Diagramms liegen, aber unterschiedliche B-Vorzeichen haben, sollte man ebenfalls eine Bifurkation auf jedem (symmetrischen) Pfad erwarten, der sie verbindet[1].

4.2. GIT-Sequenz: 3D . Nun wenden wir dieselbe Idee an, allerdings für autonome Hamiltonsysteme mit drei Freiheitsgraden, für die reduzierte Monodromiematrizen Elemente in Sp(4) sind.

Die GIT-Sequenz [FM] fügt diesem Diagramm zwei Schichten hinzu, wie in Abbildung 3 dargestellt. Die obere Schicht hat für jeden hyperbolischen Eigenwert zwei zusätzliche Zweige als die mittlere. Während die Kombinatorik und die globale Topologie der beteiligten Räume komplizierter sind als im 2D-Fall, ist die intuitive Idee immer noch dieselbe, d. h. dass die Informationsmenge für symmetrische Orbits reichhaltiger ist und dass wir mehr Orbits bis zur qualitativen Äquivalenz unterscheiden können. Beachten Sie, dass wir in dieser Dimension zwei Eigenwertpaare haben, die B-Signatur ein Paar (±, ±) von Vorzeichen ist und die obere Schicht daher 4 Zweige über jeder Komponente des Broucke-Diagramms hat (außer der nicht-reellen Komponente).

[1] Wir verwenden das Wort „erwarten“ mit Vorsicht, da wir hier keine mathematische Aussage machen möchten, da Bahnen theoretisch tangential durch den Maslov-Zyklus verlaufen könnten, ohne sich zu verzweigen.