Tổ hợp ổn định tuyến tính cho các hệ Hamilton theo chiều tùy ý: Trình tự GIT: thấp

Bảng liên kết

• trừu tượng
• Giới thiệu
• Vòng sơ loại
• chữ ký B
• Trình tự GIT: kích thước thấp
• Trình tự GIT: kích thước tùy ý
• Phụ lục A. Tính ổn định, định lý Krein–Moser, các cải tiến và tài liệu tham khảo

4. Trình tự GIT: kích thước thấp

Bây giờ chúng ta thảo luận về các phương pháp tôpô tổng thể trong nghiên cứu các quỹ đạo tuần hoàn, sau phần trình bày trong [AFKM]. Các phương thức này mã hóa: phân nhánh; sự ổn định; cấu hình giá trị riêng; cản trở sự tồn tại của các gia đình bình thường; và biển hiệu B, theo cách trực quan và tiết kiệm tài nguyên.

Trình tự GIT là trình tự các bản đồ và không gian được đưa ra bởi

Sau đó, theo cách trên, điểm ổn định là kết quả của việc áp dụng chuỗi bản đồ GIT cho ma trận đã cho.

4.1. Trình tự GIT: 2D. Chúng ta bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, tức là trường hợp Hamilton tự trị có hai bậc tự do, sao cho ma trận đơn sắc rút gọn là một phần tử trong Sp(2) = SL(2, R).

Sơ đồ ổn định Broucke khi đó chỉ đơn giản là đường thực, được chia thành ba thành phần; xem Hình 1. Nếu hai quỹ đạo nằm trong các thành phần khác nhau của sơ đồ thì luôn có các điểm phân nhánh trong bất kỳ họ nào nối chúng, vì cấu trúc liên kết của sơ đồ ngụ ý rằng bất kỳ đường đi nào giữa chúng đều phải vượt qua các giá trị riêng ±1 (tương ứng với phân nhánh hoặc phân nhánh nhân đôi chu kỳ).

Người ta có thể nghĩ rằng chỉ số ổn định “sụp đổ” hai nhánh hình elip ở lớp giữa của Hình 1 lại với nhau. Hai nhánh này được phân biệt bằng dấu B, trùng với dấu Kerin [Kre2; Kre3]. Có thêm một lớp trên cùng dành cho các quỹ đạo đối xứng, trong đó mỗi nhánh hyperbol tách thành hai và có một bản đồ thu gọn từ lớp trên xuống lớp giữa. Lưu ý rằng để đi từ nhánh này sang nhánh khác (chẳng hạn từ nhánh hyperbol dương I đến nhánh hyperbol dương II), cấu trúc liên kết của lớp trên cùng ngụ ý rằng giá trị riêng 1 cần phải được vượt qua. Điều này có nghĩa là người ta sẽ mong đợi sự phân nhánh trong bất kỳ họ (đối xứng) nào tham gia cùng chúng, ngay cả khi chúng chiếu tới cùng một thành phần của sơ đồ Broucke. Bằng cách này, thông tin được cung cấp bởi sơ đồ sẽ tinh tế hơn nhiều đối với trường hợp quỹ đạo đối xứng. Nếu chúng ta nói rằng hai quỹ đạo tương đương về mặt chất lượng nếu chúng có thể được nối với nhau bằng một hình trụ quỹ đạo thông thường, thì cấu trúc liên kết của các khoảng trống trong chuỗi GIT sẽ đưa ra các tiêu chí để xác định bất cứ khi nào hai quỹ đạo không tương đương về mặt chất lượng. Tóm lại:

• Ký hiệu B là các nhánh hyperbol “riêng biệt”, dành cho các quỹ đạo đối xứng.

• Nếu hai quỹ đạo nằm trong các thành phần khác nhau của biểu đồ Broucke thì luôn có các điểm phân nhánh trên bất kỳ đường nối nào giữa chúng.

• Nếu hai quỹ đạo đối xứng nằm trong cùng một thành phần của sơ đồ Broucke, nhưng nếu dấu B khác nhau, thì người ta cũng có thể dự kiến sẽ có sự phân nhánh ở bất kỳ đường dẫn (đối xứng) nào nối chúng[1].

4.2. Trình tự GIT: 3D . Bây giờ chúng ta áp dụng ý tưởng tương tự, nhưng đối với các hệ Hamilton tự trị có ba bậc tự do, trong đó ma trận đơn điệu rút gọn là các phần tử trong Sp(4).

Chuỗi GIT [FM] thêm hai lớp vào sơ đồ này, như trong Hình 3. Lớp trên cùng có thêm hai nhánh so với lớp giữa, cho mỗi giá trị riêng hyperbol. Mặc dù tổ hợp và cấu trúc liên kết tổng thể của các không gian liên quan phức tạp hơn trường hợp 2D, ý tưởng trực quan vẫn giống nhau, tức là lượng thông tin về các quỹ đạo đối xứng phong phú hơn và chúng ta có thể phân biệt nhiều quỹ đạo hơn cho đến tương đương về mặt chất lượng. . Lưu ý rằng vì trong chiều này, chúng ta có hai cặp giá trị riêng, chữ ký B là một cặp (±, ±) dấu và do đó lớp trên cùng có 4 nhánh trên mỗi thành phần của sơ đồ Broucke (ngoại trừ thành phần phi thực).

[1] Chúng tôi sử dụng từ “mong đợi” một cách thận trọng thay vì đưa ra một phát biểu toán học, vì về mặt lý thuyết, các quỹ đạo có thể đi tiếp tuyến qua chu trình Maslov mà không phân nhánh.