Combinatoire de stabilité linéaire pour les systèmes hamiltoniens en dimension arbitraire : séquence GIT : faible

Tableau des liens

• Abstrait
• Introduction
• Préliminaires
• La signature B
• Séquence GIT : faibles dimensions
• Séquence GIT : dimension arbitraire
• Annexe A. Stabilité, théorème de Krein-Moser, affinements et références

4. Séquence GIT : faibles dimensions

Nous discutons maintenant des méthodes topologiques globales dans l'étude des orbites périodiques, suite à l'exposé dans [AFKM]. Ces méthodes codent : des bifurcations ; la stabilité; configurations de valeurs propres ; les obstacles à l'existence de familles régulières ; et les panneaux B, de manière visuelle et économe en ressources.

La séquence GIT est la séquence de cartes et d'espaces donnée par

Ensuite, d'après ce qui précède, le point de stabilité est le résultat de l'application de la séquence de cartes GIT à la matrice donnée.

4.1. Séquence GIT : 2D. Nous commençons par le cas le plus simple, c'est à dire le cas d'un hamiltonien autonome à deux degrés de liberté, tel que la matrice de monodromie réduite est un élément de Sp(2) = SL(2, R).

Le diagramme de stabilité de Broucke est alors simplement la vraie droite, divisée en trois composantes ; voir Figure 1. Si deux orbites se trouvent dans des composantes différentes du diagramme, alors il y a toujours des bifurcations dans toute famille qui les rejoint, car la topologie du diagramme implique que tout chemin entre elles doit croiser les valeurs propres ±1 (correspondant respectivement à la bifurcation ou bifurcation avec doublement de période).

On peut penser que l’indice de stabilité « effondre » ensemble les deux branches elliptiques de la couche intermédiaire de la figure 1. Ces deux branches se distinguent par les signes B, coïncidant avec les signes Kerin [Kre2 ; Kre3]. Il existe une couche supérieure supplémentaire pour les orbites symétriques, où chaque branche hyperbolique se sépare désormais en deux, et il existe une carte qui s'effondre de la couche supérieure à la couche intermédiaire. A noter que pour passer d'une branche à l'autre (disons de la branche hyperbolique positive I à la branche hyperbolique positive II), la topologie de la couche supérieure implique qu'il faut franchir la valeur propre 1. Cela signifie qu'il faut s'attendre à des bifurcations dans toute famille (symétrique) qui les rejoint, même si elles se projettent sur la même composante du diagramme de Broucke. De cette manière, les informations données par le diagramme sont beaucoup plus raffinées pour le cas d'orbites symétriques. Si nous disons que deux orbites sont qualitativement équivalentes si elles peuvent être reliées par un cylindre orbital régulier, alors la topologie des espaces dans la séquence GIT donne des critères pour déterminer si deux orbites ne sont pas qualitativement équivalentes. Pour résumer:

• Branches hyperboliques « séparées » des signes B, pour des orbites symétriques.

• Si deux orbites se trouvent dans des composantes différentes du diagramme de Broucke, il y a toujours des bifurcations dans tout chemin qui les rejoint.

• Si deux orbites symétriques se trouvent dans la même composante du diagramme de Broucke, mais si les signes B diffèrent, il faut également s'attendre à une bifurcation dans tout chemin (symétrique) les joignant[1].

4.2. Séquence GIT : 3D . Nous appliquons maintenant la même idée, mais pour les systèmes hamiltoniens autonomes à trois degrés de liberté, pour lesquels les matrices de monodromie réduites sont des éléments dans Sp(4).

La séquence GIT [FM] ajoute deux couches à ce diagramme, comme le montre la figure 3. La couche supérieure a deux branches supplémentaires par rapport à celle du milieu, pour chaque valeur propre hyperbolique. Même si la combinatoire et la topologie globale des espaces impliqués sont plus compliquées que dans le cas 2D, l'idée intuitive est toujours la même, à savoir que la quantité d'informations pour les orbites symétriques est plus riche, et que l'on peut distinguer plus d'orbites jusqu'à équivalence qualitative. . Notez que comme dans cette dimension nous avons deux paires de valeurs propres, la signature B est une paire (±, ±) de signes, et donc la couche supérieure a 4 branches sur chaque composante du diagramme de Broucke (sauf la composante non réelle).

[1] Nous utilisons prudemment le mot « attendre » plutôt que de donner une déclaration mathématique, car théoriquement, les orbites pourraient traverser tangentiellement le cycle de Maslov sans se bifurquer.