附录 A. 稳定性、Krein–Moser 定理以及改进和参考文献

链接表

• 抽象的
• 介绍
• 准备工作
• B 签名
• GIT 序列：低维度
• GIT 序列：任意维度
• 附录 A. 稳定性、Krein–Moser 定理以及改进和参考文献

附录 A. 稳定性、Krein-Moser 定理和改进

现在我们来解释一下 GIT 序列如何拓扑编码周期轨道的（线性）稳定性，并将其与 Krein 理论的基本概念和 Krein-Moser 稳定性定理进行比较。我们还将解释如何获得定理 A。

我们遵循 Ekeland 的书 [Eke90] 中的论述（另请参阅 [Ab01]）。考虑一个线性辛微分方程

可以证明，当且仅当 R(T) (强) 稳定时，ODE x˙ = JA(t)x 才是 (强) 稳定的 [Eke90]。此外，稳定性等同于 R(T) 可对角化（即所有特征值都是半简单的），其谱位于单位圆内 [Eke90]。

现在，考虑辛矩阵 R 的特征值椭圆对 {λ, λ}。那么，任何接近 R 的其他辛矩阵也将具有单位圆中不同于 ±1 的简单特征值（否则特征值将不得不分为两个，因为每个特征值都以四元组的形式出现，如果特征空间是一维的，这是不可能的）。因此，在这种情况下，R 是强稳定的。具有更高多重性的特征值的情况通过 Krein 理论处理。每当两个椭圆特征值结合在一起时，这都会给出一个标准，即它们何时不可能脱离圆并转变为复四元组。其工作原理如下。

如果 x, y 是相应的特征向量。此外，如果我们考虑广义特征空间

定义 A.2. （Krein 正性/负性）如果 λ 是辛矩阵 R 的特征值且 |λ| = 1，则 Gλ 的签名 (p, q) 称为 λ 的 Krein 型或 Krein 签名。如果 q = 0，即 Gλ 为正定矩阵，则称 λ 为 Krein 正。如果 p = 0，即 Gλ 为负定矩阵，则称 λ 为 Krein 负。如果 λ 为 Krein 负或 Krein 正，则称其为 Krein 正定矩阵。否则，称其为 Krein 不定矩阵。

如果 λ 是 Krein 型 (p, q)，则 λ 是 Krein 型 (q, p) [Eke90]。如果 λ 满足 |λ| = 1 且它不是半单的，则很容易证明它是 Krein 不定的 [Eke90]。此外，如果 ±1 是特征值，则它们总是 Krein 不定的，因为它们有实特征向量 x，因此是 G 各向同性的，即 G(x, x) = 0。以下内容最初由 Krein 在 [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] 中证明，并由 Moser 在 [M78] 中独立重新发现，它给出了 Krein 理论中强稳定性的表征：

定理 3 (Krein–Moser)。R是强稳定的当且仅当它是稳定的并且它的所有特征值都是 Krein 正定的。

请参阅 [ Eke90 ] 以获得证明。请注意，这概括了所有特征值都是简单的、不同于 ±1 且在单位圆内的情况，如上所述。现在，GIT 序列与 Krein 理论的联系如下。

命题 A.1 ([FM]).对于沃南伯格矩阵，对于椭圆特征值，Krein 签名与 B 签名一致。

例 A.3.举一个简单的例子，为了说明命题 A.1，考虑沃宁伯格矩阵

作为 Krein-Moser 定理和命题 A.1 的推论，我们得到以下结论。

定理4.设R为沃南伯格矩阵，则R强稳定当且仅当它是稳定的并且其所有特征值都是B正定的。

在高维空间中，给定的沃伦伯格矩阵的高重数椭圆或双曲特征值是否可以被扰动为复四元组取决于其 B 特征是否确定；参见图 9 和注释 5.2。这给出了所有维度中 Krein-Moser 定理的拓扑证明，并且实际上将其推广到双曲情况，在沃伦伯格矩阵的情况下，证明了引言中的定理 A。

参考

[Ab01] Abbondandolo, Alberto。汉密尔顿系统的莫尔斯理论。Chapman & Hall/CRC 数学研究笔记，425。Chapman & Hall/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2001 年。xii+189 页。ISBN：1-58488- 202-6

[Ay22] Aydin, Cengiz。从巴比伦月球观测到 Floquet 乘数和 Conley-Zehnder 指数。预印本 arXiv:2206.07803，2022 年。

[AFKM] Aydin, Cengiz；Frauenfelder, Urs；Koh, Dayung；Moreno, Agustin。太空任务设计中的辛方法。2023 年 AAS/AIAA 天体动力学专家会议论文集，2023 年。

[Br69] Broucke, R. 椭圆限制三体问题中周期轨道的稳定性。AIAA J. 7,1003 (1969)。

[Eke90] 埃克兰，伊瓦尔。哈密顿力学中的凸性方法。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学和相关领域的成果 (3)]，19。Springer-Verlag，柏林，1990 年。x+247 页。ISBN：3-540-50613-6

[FM] Frauenfelder, Urs；Moreno, Agustin。《关于辛群的 GIT 商、周期轨道的稳定性和分岔》，《辛几何杂志》。即将出版。

[FMb] Frauenfelder, Urs；Moreno, Agustin。关于双对称周期轨道。天体力学与动态天文学，135（2023），第 2 期，论文第 20 号。

[HD98] Howard, James E.；Dullin, Holger R. 自然辛映射的线性稳定性。Phys. Lett. A 246 (1998)，第 3-4 期，273–283 页。

[HM87] Howard, JE; MacKay, RS，《计算汉密尔顿系统平衡点的线性稳定性边界》。《Phys. Lett. A》122（1987），第 6-7 期，第 331-334 页。

Kre1]Krein，M.：AM Liapunov对具有周期系数的线性微分方程的某些研究的推广。Doklady Akad.Nauk USSR 73（1950）445-448。

Kre2] Krein, M.: 论代数命题在单值化矩阵理论中的应用。Uspekhi Math. Nauk 6 (1951) 171-177。

[Kre3] Krein, M.: 论指数型整矩阵函数理论。乌克兰数学杂志 3 (1951) 164-173。

[Kre4] Krein, M.: 论特征数的某些最大值和最小值问题以及李雅普诺夫稳定区。Prikl. Math. Mekh. 15 (1951) 323-348。

[M78] Moser, Jürgen. 辛几何中的不动点定理. Acta Math. 141 (1978), no. 1-2, 17–34.

（A. Moreno）海德堡大学，数学研究所，德国海德堡 电子邮件地址：[email protected]

（F. Ruscelli）海德堡大学，数学研究所，德国海德堡 电子邮件地址：[email protected]