Ek A. Kararlılık, Krein-Moser teoremi, iyileştirmeler ve Referanslar

Bağlantı Tablosu

• Soyut
• giriiş
• Ön Hazırlıklar
• B imzası
• GIT dizisi: düşük boyutlar
• GIT dizisi: keyfi boyut
• Ek A. Kararlılık, Krein-Moser teoremi, iyileştirmeler ve Referanslar

Ek A. Kararlılık, Krein-Moser teoremi ve iyileştirmeler

Şimdi GIT dizisinin periyodik yörüngelerin (doğrusal) kararlılığını topolojik olarak nasıl kodladığını açıklayacağız ve bunu Kerin teorisinin temel kavramları ve Krein-Moser kararlılık teoremi ile karşılaştıracağız. Ayrıca Teorem A'nın nasıl elde edileceğini de açıklayacağız.

Açıklamayı Ekeland'ın [Eke90] kitabındaki takip ediyoruz (ayrıca bkz. [Ab01]). Doğrusal bir simplektik ODE düşünün

ODE x˙ = JA(t)x'in (güçlü) kararlı olduğu ancak ve ancak R(T)'nin (güçlü) kararlı olması durumunda gösterilebilir [Eke90]. Üstelik kararlılık, R(T)'nin köşegenleştirilebilir olmasına eşdeğerdir (yani tüm özdeğerler yarı basittir), spektrumu birim çemberde yer alır [Eke90].

Şimdi, bir sempatik matris R'nin eliptik bir {λ, λ} özdeğer çiftini düşünün. O zaman R'ye yakın herhangi bir diğer simplektik matris, birim çemberde ±1'den farklı basit özdeğerlere sahip olacaktır (aksi takdirde bir özdeğerin ikiye bölünmesi gerekir). , her özdeğer dörtlü olarak geldiğinden, özuzaylar 1 boyutlu ise bu mümkün değildir). Dolayısıyla bu durumda R oldukça kararlıdır. Özdeğerlerin çokluğa sahip olması durumu Kerin teorisi aracılığıyla ele alınır. İki eliptik özdeğer bir araya geldiğinde, bu onların çemberden kaçıp karmaşık bir dörtlüye geçmelerinin ne zaman mümkün olmayacağına dair bir kriter verir. Bu şu şekilde çalışır.

eğer x, y karşılık gelen özvektörlerdir. Ayrıca genelleştirilmiş özuzayları ele alırsak

Tanım A.2. (Krein-pozitiflik/negatiflik) Eğer λ, |λ| ile sempatik matris R'nin bir özdeğeri ise = 1 ise, Gλ'nın imzasına (p, q), λ'nın Krein-tipi veya Kerin imzası denir. Eğer q = 0 ise, yani Gλ pozitif tanımlı ise, λ'nın Krein-pozitif olduğu söylenir. Eğer p = 0 ise, yani Gλ negatif tanımlıysa, λ'nın Krein-negatif olduğu söylenir. Eğer λ Krein-negatif veya Krein-pozitif ise, bunun Krein-kesin olduğunu söyleriz. Aksi halde Krein-belirsiz olduğunu söyleriz.

Eğer λ Krein tipindeyse (p, q), o zaman λ Krein tipindedir (q, p) [Eke90]. Eğer λ |λ|'yı karşılıyorsa = 1 ise ve yarı-basit değilse Krein-belirsiz olduğunu göstermek kolaydır [Eke90]. Ayrıca, ±1, eğer özdeğer iseler her zaman Krein-belirsizdir, çünkü gerçek özvektörleri x'e sahiptirler, bu nedenle bunlar G-izotropiktir, yani G(x, x) = 0. Aşağıdaki, orijinal olarak Kerin tarafından [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] ve Moser tarafından bağımsız olarak [M78]'de yeniden keşfedilen, Kerin teorisi açısından güçlü kararlılığın bir karakterizasyonunu verir:

Teorem 3 (Krein-Moser). R, ancak ve ancak kararlı olması ve tüm özdeğerlerinin Krein-belirli olması durumunda güçlü bir şekilde kararlıdır.

Bir kanıt için [ Eke90 ]'a bakın. Bunun, yukarıda tartışıldığı gibi tüm özdeğerlerin basit, ±1'den farklı ve birim çember içinde olduğu durumu genelleştirdiğine dikkat edin. Şimdi, GIT dizisinin Kerin teorisine bağlanma şekli şu şekildedir.

Öneri A.1 ([FM]). Bir Wonenburger matrisi için Kerin imzası, eliptik özdeğerler için B imzasıyla çakışır.

Örnek A.3. Basit bir örnek olarak, Önerme A.1'i açıklamak için Wonenburger matrislerini düşünün.

Krein-Moser teoreminin ve Önerme A.1'in bir sonucu olarak aşağıdakini elde ederiz.

Teorem 4. R bir Wonenburger matrisi olsun. O halde R, ancak ve ancak kararlı olması ve tüm özdeğerlerinin B-kesinliği olması durumunda güçlü bir şekilde kararlıdır.

Daha yüksek boyutlarda, bir Wonenburger matrisinin belirli bir yüksek çokluklu eliptik veya hiperbolik özdeğerinin karmaşık bir dörtlü olarak bozulup bozulmayacağı, B imzasının kesin olup olmadığına göre belirlenir; bkz. örneğin Şekil 9 ve Açıklama 5.2. Bu, Krein-Moser teoreminin tüm boyutlarda topolojik bir kanıtını verir ve aslında onu hiperbolik durum için genelleştirir, Wonenburger matrisleri durumunda, Giriş'teki Teorem A'yı kanıtlar.

Referanslar

[Ab01] Abbondandolo, Alberto. Hamilton sistemleri için Mors teorisi. Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, 425. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. xii+189 pp. ISBN: 1-58488- 202-6

[Ay22] Aydın, Cengiz. Babil ay gözlemlerinden Floquet çarpanlarına ve Conley-Zehnder Endekslerine kadar. Ön baskı arXiv:2206.07803, 2022.

[AFKM] Aydın, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustin. Uzay görevi tasarımında basit yöntemler. 2023 AAS/AIAA Astrodinamik Uzman Konferansı Bildirileri, 2023.

[Br69] Broucke, R. Eliptikte periyodik yörüngelerin kararlılığı, kısıtlı üç cisim problemi. AIAA J.7,1003 (1969).

[Eke90] Ekeland, Ivar. Hamilton mekaniğinde dışbükeylik yöntemleri. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Matematik ve İlgili Alanlardaki Sonuçlar (3)], 19. Springer-Verlag, Berlin, 1990. x+247 s. ISBN: 3-540-50613-6

[FM] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Simplektik grubun GIT bölümleri, periyodik yörüngelerin kararlılığı ve çatallanmaları hakkında, Journal of Symplectic Geometry. Görünmek.

[FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Çift simetrik periyodik yörüngelerde. Gök Mekaniği ve Dinamik Astronomi, 135 (2023), no. 2, Kağıt No. 20.

[HD98] Howard, James E.; Dullin, Holger R. Doğal simplektik haritaların doğrusal kararlılığı. Fizik. Lett. A 246 (1998), no. 3-4, 273–283.

[HM87] Howard, JE; MacKay, RS Hamilton sistemlerinin dengesi için doğrusal stabilite sınırlarının hesaplanması. Fizik. Lett. A 122 (1987), no. 6-7, 331–334.

Kre1] Krein, M.: AM Liapunov'un periyodik katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler üzerindeki bazı incelemelerinin genelleştirilmesi. Doklady Akad. Nauk SSCB 73 (1950) 445-448.

Kre2] Krein, M.: Cebirsel bir önermenin monodromi matrisler teorisinde uygulanması üzerine. Uspekhi Matematik. Nauk 6 (1951) 171-177.

[Kre3] Krein, M.: Üstel tipteki tüm matris fonksiyonlarının teorisi üzerine. Ukrayna Matematik. Dergi 3 (1951) 164-173.

[Kre4] Krein, M.: Karakteristik sayılar ve Liapunov kararlılık bölgeleri için bazı maksimum ve minimum problemler üzerine. Prikl. Matematik. Meh. 15 (1951) 323-348.

[M78] Moser, Jürgen. Simplektik geometride sabit nokta teoremi. Acta Matematik. 141 (1978), hayır. 1-2, 17–34.

(A. Moreno) Heidelberg Üniversitesi, Mathematisches Institut, Heidelberg, Almanya E-posta adresi: [email protected]

(F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Almanya E-posta adresi: [email protected]