Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

Таблица ссылок

• Абстрактный
• Введение
• Предварительные сведения
• B-подпись
• Последовательность GIT: малые размеры
• Последовательность GIT: произвольное измерение
• Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера и уточнения

Теперь мы объясним, как последовательность GIT топологически кодирует (линейную) устойчивость периодических орбит, и сравним ее с основными понятиями теории Крейна и теоремой Крейна-Мозера об устойчивости. Мы также объясним, как получить теорему А.

Мы следуем изложению книги Экланда [Eke90] (см. также [Ab01]). Рассмотрим линейный симплектический ОДУ

Можно показать, что ОДУ x˙ = JA(t)x (сильно) стабильно тогда и только тогда, когда R(T) (сильно) стабильно [Eke90]. Более того, устойчивость эквивалентна тому, что R(T) диагонализуемо (т.е. все собственные значения полупросты), а его спектр лежит в единичном круге [Eke90].

Теперь рассмотрим эллиптическую пару {λ, λ} собственных значений симплектической матрицы R. Тогда любая другая симплектическая матрица, близкая к R, также будет иметь простые собственные значения в единичной окружности, отличные от ±1 (в противном случае собственное значение должно было бы раздвоиться на два , поскольку каждое собственное значение состоит из четверок, что невозможно, если собственные пространства одномерны). Следовательно, в этой ситуации R сильно устойчив. Случай собственных значений с более высокой кратностью рассматривается с помощью теории Крейна. Всякий раз, когда два эллиптических собственных значения встречаются вместе, это дает критерий того, когда они не могут выйти из круга и перейти в комплексную четверку. Это работает следующим образом.

если x, y — соответствующие собственные векторы. Более того, если мы рассмотрим обобщенные собственные пространства

Определение А.2. (Крейн-позитивность/отрицательность) Если λ — собственное значение симплектической матрицы R с |λ| = 1, то сигнатура (p, q) группы Gλ называется сигнатурой типа Крейна или сигнатурой Крейна группы λ. Если q = 0, т. е. Gλ положительно определена, говорят, что λ положительна по Крейну. Если p = 0, т. е. Gλ отрицательно определена, λ называется отрицательной по Крейну. Если λ либо отрицательна, либо положительна по Крейну, мы говорим, что она определена по Крейну. В противном случае мы говорим, что оно Крейн-неопределенно.

Если λ имеет тип Крейна (p, q), то λ имеет тип Крейна (q, p) [Eke90]. Если λ удовлетворяет условию |λ| = 1 и оно не является полупростым, то легко показать, что оно неопределённо по Крейну [Eke90]. Более того, ±1 всегда являются неопределенными по Крейну, если они являются собственными значениями, поскольку они имеют действительные собственные векторы x, которые, следовательно, G-изотропны, т. е. G(x, x) = 0. Следующие утверждения, первоначально доказанные Крейном в [Kre1; Кре2; Кре3; Kre4] и независимо переоткрытый Мозером в [M78], дает характеристику сильной устойчивости в терминах теории Крейна:

Теорема 3 (Крейна–Мозера). R сильно устойчив тогда и только тогда, когда он устойчив и все его собственные значения определены по Крейну.

См. доказательство в [ Eke90 ]. Обратите внимание, что это обобщает случай, когда все собственные значения просты, отличны от ±1 и находятся в единичном круге, как обсуждалось выше. Итак, последовательность GIT связана с теорией Крейн следующим образом.

Предложение А.1 ([ФМ]). Для матрицы Воненбургера сигнатура Крейна совпадает с B-сигнатурой для эллиптических собственных значений.

Пример А.3. В качестве простого примера, иллюстрирующего предложение А.1, рассмотрим матрицы Воненбургера

Как следствие теоремы Крейна–Мозера и предложения A.1 получаем следующее.

Теорема 4. Пусть R — матрица Воненбургера. Тогда R сильно устойчиво тогда и только тогда, когда оно стабильно и все его собственные значения B-определены.

В более высоких измерениях вопрос о том, может ли данное эллиптическое или гиперболическое собственное значение с высокой кратностью быть преобразовано в комплексную четверку, определяется тем, определена ли его B-сигнатура; см., например, рисунок 9 и замечание 5.2. Это дает топологическое доказательство теоремы Крейна – Мозера во всех измерениях и фактически обобщает его на гиперболический случай в случае матриц Воненбургера, доказывая теорему А во введении.

Рекомендации

[Ab01] Аббондандоло, Альберто. Теория Морса для гамильтоновых систем. Исследовательские заметки Чепмена и Холла/CRC по математике, 425. Чепмен и Холл/CRC, Бока-Ратон, Флорида, 2001. xii+189 стр. ISBN: 1-58488-202-6

[Ay22] Айдын, Ченгиз. От вавилонских лунных наблюдений до множителей Флоке и индексов Конли-Цендера. Препринт arXiv:2206.07803, 2022.

[АФКМ] Айдын, Ченгиз; Фрауэнфельдер, Урс; Ко, Даюнг; Морено, Агустин. Симплектические методы в проектировании космических полетов. Материалы конференции специалистов по астродинамике AAS/AIAA 2023 г., 2023 г.

[Br69] Брук, Р. Устойчивость периодических орбит в эллиптической ограниченной задаче трех тел. AIAA J. 7,1003 (1969).

[Eke90] Экеланд, Ивар. Методы выпуклости в гамильтоновой механике. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 19. Springer-Verlag, Берлин, 1990. x + 247 стр. ISBN: 3-540-50613-6

[FM] Фрауэнфельдер, Урс; Морено, Агустин. О факторах GIT симплектической группы, устойчивости и бифуркациях периодических орбит, Журнал симплектической геометрии. Появиться.

[FMb] Фрауэнфельдер, Урс; Морено, Агустин. О двоякосимметричных периодических орбитах. Небесная механика и динамическая астрономия, 135 (2023), вып. 2, Статья № 20.

[HD98] Ховард, Джеймс Э.; Дуллин, Хольгер Р. Линейная устойчивость естественных симплектических отображений. Физ. Летт. А 246 (1998), вып. 3–4, 273–283.

[HM87] Ховард, JE; Маккей Р.С. Расчет границ линейной устойчивости состояний равновесия гамильтоновых систем. Физ. Летт. А 122 (1987), вып. 6–7, 331–334.

Кре1] Крейн, М.: Обобщение некоторых исследований А. М. Ляпунова по линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Доклады Акад. Наук СССР 73 (1950) 445-448.

Кре2] Крейн М.: О применении одного алгебраического предложения в теории матриц монодромии. Успехи математики. Наук 6 (1951) 171-177.

[Кре3] Крейн М.: К теории целых матриц-функций экспоненциального типа. Украинская математика. Журнал 3 (1951) 164–173.

[Kre4] Крейн, М.: О некоторых задачах максимума и минимума для характеристических чисел и зон устойчивости Ляпунова. Прикл. Математика. Мех. 15 (1951) 323-348.

[M78] Мозер, Юрген. Теорема о неподвижной точке в симплектической геометрии. Акта Математика. 141 (1978), вып. 1–2, 17–34.

(А. Морено) Университет Гейдельберга, Математический институт, Гейдельберг, Германия Адрес электронной почты: [email protected]

(Ф. Русчелли) Университет Гейдельберга, Математический институт, Гейдельберг, Германия Адрес электронной почты: [email protected]