Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos e referências

Tabela de Links

• Abstrato
• Introdução
• Preliminares
• A assinatura B
• Sequência GIT: dimensões baixas
• Sequência GIT: dimensão arbitrária
• Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos e referências

Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos

Agora explicamos como a sequência GIT codifica topologicamente a estabilidade (linear) de órbitas periódicas e a comparamos com as noções básicas da teoria de Kerin e do teorema de estabilidade de Krein-Moser. Também explicaremos como obter o Teorema A.

Seguimos a exposição no livro de Ekeland [Eke90] (ver também [Ab01]). Considere uma EDO simplética linear

Pode-se mostrar que a EDO x˙ = JA(t)x é (fortemente) estável se e somente se R(T) for (fortemente) estável [Eke90]. Além disso, a estabilidade é equivalente a R(T) ser diagonalizável (isto é, todos os autovalores são semi-simples), com seu espectro situado no círculo unitário [Eke90].

Agora, considere um par elíptico {λ, λ} de autovalores de uma matriz simplética R. Então qualquer outra matriz simplética próxima de R também terá autovalores simples no círculo unitário diferentes de ±1 (caso contrário, um autovalor teria que se bifurcar em dois , já que cada autovalor vem em quádruplos, o que não é possível se os autoespaços forem unidimensionais). Portanto nesta situação, R é fortemente estável. O caso de autovalores com maior multiplicidade é tratado através da teoria de Kerin. Sempre que dois autovalores elípticos se juntam, isso fornece um critério para quando eles não podem escapar do círculo e fazer a transição para um quádruplo complexo. Isso funciona da seguinte maneira.

se x, y são os autovetores correspondentes. Além disso, se considerarmos os autoespaços generalizados

Definição A.2. (Krein-positividade/negatividade) Se λ é um autovalor da matriz simplética R com |λ| = 1, então a assinatura (p, q) de Gλ é chamada de tipo Krein ou assinatura Kerin de λ. Se q = 0, ou seja, Gλ é positivo definido, λ é dito Krein-positivo. Se p = 0, ou seja, Gλ é negativo definido, λ é dito Krein-negativo. Se λ for Krein negativo ou Krein positivo, dizemos que é Krein definido. Caso contrário, dizemos que é Krein-indefinido.

Se λ é do tipo Krein (p, q), então λ é do tipo Krein (q, p) [Eke90]. Se λ satisfaz |λ| = 1 e não é semi-simples, então é fácil mostrar que é Krein-indefinido [Eke90]. Além disso, ±1 são sempre Krein-indefinidos se forem autovalores, pois possuem autovetores reais x, que são, portanto, G-isotrópicos, ou seja, G(x, x) = 0. O seguinte, originalmente provado por Kerin em [Kre1; Cre2; Cre3; Kre4] e redescoberto independentemente por Moser em [M78], dá uma caracterização de forte estabilidade em termos da teoria de Kerin:

Teorema 3 (Krein–Moser). R é fortemente estável se e somente se for estável e todos os seus autovalores forem definidos por Krein.

Veja [ Eke90 ] para uma prova. Observe que isso generaliza o caso em que todos os autovalores são simples, diferentes de ±1 e no círculo unitário, conforme discutido acima. Agora, a forma como a sequência do GIT se relaciona com a teoria de Kerin é a seguinte.

Proposição A.1 ([FM]). Para uma matriz Wonenburger, a assinatura de Kerin coincide com a assinatura B, para autovalores elípticos.

Exemplo A.3. Como exemplo simples, para ilustrar a Proposição A.1, considere as matrizes Wonenburger

Como corolário do teorema de Krein-Moser e da Proposição A.1, obtemos o seguinte.

Teorema 4. Seja R uma matriz de Wonenburger. Então R é fortemente estável se e somente se for estável e todos os seus autovalores forem B-definidos.

Em dimensões superiores, se um determinado autovalor elíptico ou hiperbólico de alta multiplicidade de uma matriz de Wonenburger pode ou não ser perturbado para ser um quádruplo complexo é determinado pelo fato de sua assinatura B ser definida ou não; veja, por exemplo, Figura 9 e Observação 5.2. Isto dá uma prova topológica do teorema de Krein-Moser em todas as dimensões, e de fato o generaliza para o caso hiperbólico, no caso de matrizes de Wonenburger, provando o Teorema A na Introdução.

Referências

[Ab01] Abbondandolo, Alberto. Teoria Morse para sistemas hamiltonianos. Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, 425. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. xii+189 pp.

[Ay22] Aydin, Cengiz. Das observações lunares da Babilônia aos multiplicadores Floquet e índices Conley-Zehnder. Pré-impressão arXiv:2206.07803, 2022.

[AFKM] Aydin, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustín. Métodos simpléticos no projeto de missões espaciais. Anais da Conferência de Especialistas em Astrodinâmica AAS/AIAA 2023, 2023.

[Br69] Broucke, R. Estabilidade de órbitas periódicas no problema elíptico e restrito de três corpos. AIAA J. 7.1003 (1969).

[Eke90] Ekeland, Ivar. Métodos de convexidade em mecânica hamiltoniana. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados em Matemática e Áreas Relacionadas (3)], 19. Springer-Verlag, Berlim, 1990. x+247 pp. ISBN: 3-540-50613-6

[FM] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustín. Sobre quocientes GIT do grupo simplético, estabilidade e bifurcações de órbitas periódicas, Journal of Symplectic Geometry. Aparecer.

[FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustín. Em órbitas periódicas duplamente simétricas. Mecânica Celestial e Astronomia Dinâmica, 135 (2023), no. 2, Artigo nº 20.

[HD98] Howard, James E.; Dullin, Holger R. Estabilidade linear de mapas simpléticos naturais. Física. Vamos. A 246 (1998), nº. 3-4, 273–283.

[HM87] Howard, JE; MacKay, RS Cálculo de limites de estabilidade linear para equilíbrios de sistemas hamiltonianos. Física. Vamos. A 122 (1987), não. 6-7, 331–334.

Kre1] Krein, M.: Generalização de certas investigações de AM Liapunov sobre equações diferenciais lineares com coeficientes periódicos. Doklady Akad. Nauk URSS 73 (1950) 445-448.

Kre2] Krein, M.: Sobre a aplicação de uma proposição algébrica na teoria das matrizes monodromia. Uspekhi Matemática. Nauk 6 (1951) 171-177.

[Kre3] Krein, M.: Sobre a teoria de funções matriciais inteiras do tipo exponencial. Matemática Ucraniana. Diário 3 (1951) 164-173.

[Kre4] Krein, M.: Sobre alguns problemas de máximo e mínimo para números característicos e zonas de estabilidade de Liapunov. Prikl. Matemática. Mekh. 15 (1951) 323-348.

[M78] Moser, Jurgen. Um teorema do ponto fixo em geometria simplética. Acta Matemática. 141 (1978), não. 1-2, 17–34.

(A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Alemanha Endereço de e-mail: [email protected]

(F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Alemanha Endereço de e-mail: [email protected]