परिशिष्ट A. स्थिरता, क्रेन-मोजर प्रमेय, और परिशोधन और संदर्भ

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• जीआईटी अनुक्रम: निम्न आयाम
• जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम
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परिशिष्ट A. स्थिरता, क्रेन-मोजर प्रमेय, और परिशोधन

अब हम बताते हैं कि कैसे GIT अनुक्रम टोपोलॉजिकल रूप से आवधिक कक्षाओं की (रैखिक) स्थिरता को एनकोड करता है, और इसकी तुलना क्रेन सिद्धांत और क्रेन-मोजर स्थिरता प्रमेय की बुनियादी अवधारणाओं से करते हैं। हम यह भी बताएंगे कि प्रमेय A कैसे प्राप्त किया जाए।

हम एकलैंड की पुस्तक [Eke90] में दिए गए विवरण का अनुसरण करते हैं (यह भी देखें [Ab01])। एक रैखिक सिम्पलेक्टिक ODE पर विचार करें

कोई यह दिखा सकता है कि ODE x˙ = JA(t)x (दृढ़ता से) स्थिर है यदि और केवल यदि R(T) (दृढ़ता से) स्थिर है [Eke90]। इसके अलावा, स्थिरता R(T) के विकर्णीय होने के बराबर है (यानी सभी आइगेनवैल्यू अर्ध-सरल हैं), जिसका स्पेक्ट्रम यूनिट सर्कल में स्थित है [Eke90]।

अब, सिम्पलेक्टिक मैट्रिक्स R के आइगेन वैल्यू के एक दीर्घवृत्तीय युग्म {λ, λ} पर विचार करें। फिर R के करीब किसी भी अन्य सिम्पलेक्टिक मैट्रिक्स में भी यूनिट सर्कल में ±1 से अलग सरल आइगेन वैल्यू होगी (अन्यथा एक आइगेन वैल्यू को दो भागों में विभाजित करना होगा, क्योंकि प्रत्येक आइगेन वैल्यू चौगुनी में आती है, जो कि संभव नहीं है यदि आइगेनस्पेस 1-आयामी हैं)। इसलिए इस स्थिति में, R दृढ़ता से स्थिर है। उच्च बहुलता वाले आइगेन वैल्यू के मामले को क्रेन सिद्धांत के माध्यम से निपटाया जाता है। जब भी दो दीर्घवृत्तीय आइगेन वैल्यू एक साथ आते हैं, तो यह एक मानदंड देता है कि वे कब सर्कल से बच नहीं सकते हैं और एक जटिल चौगुनी में परिवर्तित नहीं हो सकते हैं। यह इस प्रकार काम करता है।

यदि x, y संगत आइगेनवेक्टर हैं। इसके अलावा, यदि हम सामान्यीकृत आइगेनस्पेस पर विचार करते हैं

परिभाषा A.2. (क्रेइन-पॉजिटिविटी/नेगेटिविटी) यदि λ |λ| = 1 के साथ सिम्पलेक्टिक मैट्रिक्स R का आइजेनवैल्यू है, तो Gλ के सिग्नेचर (p, q) को λ का क्रेइन-टाइप या क्रेइन सिग्नेचर कहा जाता है। यदि q = 0, यानी Gλ पॉजिटिव निश्चित है, तो λ को क्रेइन-पॉजिटिव कहा जाता है। यदि p = 0, यानी Gλ नेगेटिव निश्चित है, तो λ को क्रेइन-नेगेटिव कहा जाता है। यदि λ या तो क्रेइन-नेगेटिव है या क्रेइन-पॉजिटिव है, तो हम कहते हैं कि यह क्रेइन-निश्चित है। अन्यथा, हम कहते हैं कि यह क्रेइन-अनिश्चित है।

यदि λ क्रेन-प्रकार (p, q) का है, तो λ क्रेन-प्रकार (q, p) का होगा [Eke90]। यदि λ |λ| = 1 को संतुष्ट करता है और यह अर्ध-सरल नहीं है, तो यह दिखाना आसान है कि यह क्रेन-अनिश्चित है [Eke90]। इसके अलावा, ±1 हमेशा क्रेन-अनिश्चित होते हैं यदि वे आइगेनवैल्यू हैं, क्योंकि उनके पास वास्तविक आइगेनवेक्टर x हैं, जो इसलिए G-आइसोट्रोपिक हैं, यानी G(x, x) = 0। निम्नलिखित, जिसे मूल रूप से क्रेन ने [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] में सिद्ध किया था और मोजर ने [M78] में स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा था, क्रेन सिद्धांत के संदर्भ में मजबूत स्थिरता की विशेषता देता है:

प्रमेय 3 (क्रेइन-मोजर)। R तभी दृढ़ता से स्थिर होता है जब यह स्थिर हो और इसके सभी आइगेन मान क्रेइन-निश्चित हों।

प्रमाण के लिए [ Eke90 ] देखें। ध्यान दें कि यह उस मामले को सामान्यीकृत करता है जहाँ सभी आइगेनवैल्यू सरल हैं, ±1 से भिन्न हैं और यूनिट सर्कल में हैं, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। अब, जिस तरह से GIT अनुक्रम क्रेन सिद्धांत के साथ जुड़ता है वह निम्नलिखित है।

प्रस्ताव A.1 ([FM])। वोनेनबर्गर मैट्रिक्स के लिए, क्रेन हस्ताक्षर, अण्डाकार आइगेनवैल्यू के लिए, B-हस्ताक्षर के साथ मेल खाता है।

उदाहरण A.3. एक सरल उदाहरण के रूप में, प्रस्ताव A.1 को स्पष्ट करने के लिए, वोनेनबर्गर मैट्रिसेस पर विचार करें

क्रेन-मोजर प्रमेय और प्रस्ताव A.1 के परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है।

प्रमेय 4. मान लें कि R एक वोनेनबर्गर मैट्रिक्स है। तब R तभी दृढ़ता से स्थिर होगा जब यह स्थिर हो और इसके सभी आइगेन मान B-निश्चित हों।

उच्च आयामों में, वॉननबर्गर मैट्रिक्स के दिए गए उच्च-बहुलता वाले अण्डाकार या हाइपरबोलिक आइगेनवैल्यू को जटिल चतुर्भुज होने के लिए विक्षुब्ध किया जा सकता है या नहीं, यह इस बात से निर्धारित होता है कि इसका बी-हस्ताक्षर निश्चित है या नहीं; उदाहरण के लिए चित्र 9 और टिप्पणी 5.2 देखें। यह सभी आयामों में क्रेन-मोजर प्रमेय का एक टोपोलॉजिकल प्रमाण देता है, और वास्तव में इसे हाइपरबोलिक मामले के लिए सामान्यीकृत करता है, वॉननबर्गर मैट्रिसेस के मामले में, परिचय में प्रमेय ए को साबित करता है।

संदर्भ

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(ए. मोरेनो) यूनिवर्सिटी हीडलबर्ग, मैथेमेटिसचेस इंस्टिट्यूट, हीडलबर्ग, जर्मनी ईमेल पता: [email protected]

(एफ. रुसेली) यूनिवर्सिटी हीडलबर्ग, मैथेमेटिसचेस इंस्टिट्यूट, हीडलबर्ग, जर्मनी ईमेल पता: [email protected]