পরিশিষ্ট A. স্থিতিশীলতা, ক্রেইন-মোজার উপপাদ্য, এবং পরিমার্জন এবং উল্লেখ

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত
• ভূমিকা
• প্রাথমিক
• বি-স্বাক্ষর
• GIT ক্রম: নিম্ন মাত্রা
• GIT ক্রম: নির্বিচারে মাত্রা
• পরিশিষ্ট A. স্থিতিশীলতা, ক্রেইন-মোজার উপপাদ্য, এবং পরিমার্জন এবং উল্লেখ

পরিশিষ্ট A. স্থিতিশীলতা, ক্রেইন-মোজার উপপাদ্য, এবং পরিমার্জন

এখন আমরা ব্যাখ্যা করি কিভাবে জিআইটি সিকোয়েন্স টপোলজিকালভাবে পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের (রৈখিক) স্থায়িত্বকে এনকোড করে এবং কেরিন তত্ত্বের মৌলিক ধারণা এবং ক্রেইন-মোজার স্থায়িত্ব তত্ত্বের সাথে তুলনা করি। কিভাবে উপপাদ্য A পেতে হয় তাও আমরা ব্যাখ্যা করব।

আমরা Ekeland এর বই [Eke90] এর ব্যাখ্যা অনুসরণ করি (এছাড়াও [Ab01] দেখুন)। একটি লিনিয়ার সিমপ্লেটিক ODE বিবেচনা করুন

কেউ দেখাতে পারে যে ODE x˙ = JA(t)x (দৃঢ়ভাবে) স্থিতিশীল যদি এবং শুধুমাত্র R(T) (দৃঢ়ভাবে) স্থিতিশীল [Eke90]। অধিকন্তু, স্থায়িত্ব R(T) তির্যক হওয়ার সমতুল্য (অর্থাৎ সমস্ত eigenvalues আধা-সরল), এর বর্ণালী একক বৃত্তের মধ্যে রয়েছে [Eke90]।

এখন, উপবৃত্তাকার ম্যাট্রিক্স R-এর eigenvalues এর একটি উপবৃত্তাকার জোড়া {λ, λ} বিবেচনা করুন। তারপর R-এর কাছাকাছি অন্য যেকোন সিমপ্লেটিক ম্যাট্রিক্সেরও একক বৃত্তে ±1 থেকে ভিন্ন সরল ইগেনভ্যালু থাকবে (অন্যথায় একটি ইজেনভ্যালুকে দুই ভাগে বিভক্ত করতে হবে। , যেহেতু প্রতিটি eigenvalue চারগুণে আসে, যেটি সম্ভব নয় যদি eigenspaces 1-মাত্রিক হয়)। অতএব এই পরিস্থিতিতে, R দৃঢ়ভাবে স্থিতিশীল। উচ্চ গুণের সঙ্গে eigenvalues কেস কেরিন তত্ত্বের মাধ্যমে মোকাবেলা করা হয়। যখনই দুটি উপবৃত্তাকার ইজেনভ্যালু একত্রিত হয়, এটি একটি মাপকাঠি দেয় যখন তারা বৃত্ত থেকে পালাতে পারে না এবং একটি জটিল চতুর্গুণে রূপান্তর করতে পারে। এটি নিম্নরূপ কাজ করে।

যদি x, y সংশ্লিষ্ট eigenvectors হয়। তদুপরি, যদি আমরা সাধারণীকৃত আইজেনস্পেসগুলি বিবেচনা করি

সংজ্ঞা A.2. (ক্রেইন-ইতিবাচকতা/নেতিবাচকতা) যদি λ হয় |λ| সহ সিমপ্লেটিক ম্যাট্রিক্স R-এর একটি eigenvalue = 1, তাহলে Gλ-এর স্বাক্ষর (p, q) কে ক্রেইন-টাইপ বা λ-এর কেরিন স্বাক্ষর বলা হয়। যদি q = 0, অর্থাৎ Gλ ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট হয়, λ কে ক্রেইন-ধনাত্মক বলা হয়। যদি p = 0, অর্থাৎ Gλ ঋণাত্মক সুনির্দিষ্ট হয়, λ কে ক্রেইন-নেগেটিভ বলা হয়। যদি λ হয় ক্রেইন-নেতিবাচক বা ক্রেইন-পজিটিভ হয়, আমরা বলি যে এটি ক্রেইন-নির্দিষ্ট। অন্যথায়, আমরা বলি যে এটি ক্রেইন-অনির্দিষ্ট।

যদি λ হয় ক্রেইন-টাইপ (p, q), তাহলে λ হয় ক্রেইন-টাইপ (q, p) [Eke90]। যদি λ সন্তুষ্ট হয় |λ| = 1 এবং এটি আধা-সরল নয়, তাহলে এটি দেখানো সহজ যে এটি ক্রেইন-অনির্দিষ্ট [Eke90]। অধিকন্তু, ±1 সর্বদা ক্রেইন-অনির্দিষ্ট হয় যদি সেগুলি eigenvalue হয়, কারণ তাদের বাস্তব eigenvectors x আছে, যেগুলি তাই G-isotropic, অর্থাৎ G(x, x) = 0। নিম্নলিখিতগুলি, মূলত কেরিন দ্বারা প্রমাণিত [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] এবং স্বাধীনভাবে Moser দ্বারা [M78] পুনঃআবিষ্কৃত, কেরিন তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে শক্তিশালী স্থিতিশীলতার একটি বৈশিষ্ট্য প্রদান করে:

উপপাদ্য 3 (ক্রেইন-মোসার)। R দৃঢ়ভাবে স্থিতিশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি স্থিতিশীল হয় এবং এর সমস্ত eigenvalue ক্রেইন-নির্দিষ্ট হয়।

একটি প্রমাণের জন্য [ Eke90 ] দেখুন। উল্লেখ্য যে এটি সেই ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে যেখানে সমস্ত ইজেনভ্যালু সরল, ±1 থেকে আলাদা এবং একক বৃত্তে, যেমন উপরে আলোচনা করা হয়েছে। এখন, GIT ক্রম যেভাবে কেরিন তত্ত্বের সাথে সংযুক্ত করে তা নিম্নরূপ।

প্রস্তাব A.1 ([FM])। একটি Wonenburger ম্যাট্রিক্সের জন্য, উপবৃত্তাকার eigenvalues-এর জন্য কেরিন স্বাক্ষর বি-স্বাক্ষরের সাথে মিলে যায়।

উদাহরণ A.3. একটি সহজ উদাহরণ হিসাবে, প্রস্তাব A.1 ব্যাখ্যা করার জন্য, Wonenburger ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন

ক্রেইন-মোজার উপপাদ্য এবং প্রস্তাব A.1-এর ফলস্বরূপ, আমরা নিম্নলিখিতগুলি পাই।

উপপাদ্য 4. ধরুন R একটি Wonenburger ম্যাট্রিক্স। তারপর R দৃঢ়ভাবে স্থিতিশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি স্থিতিশীল হয় এবং এর সমস্ত eigenvalue B-নির্দিষ্ট হয়।

উচ্চ মাত্রায়, একটি ওয়ানেনবার্গার ম্যাট্রিক্সের একটি প্রদত্ত উচ্চ-গুণিত উপবৃত্তাকার বা হাইপারবোলিক ইজেনভ্যালুকে জটিল চতুর্গুণ হতে বিরক্ত করা যেতে পারে কিনা তা নির্ধারণ করা হয় এর B-স্বাক্ষরটি সুনির্দিষ্ট কিনা তা দ্বারা নির্ধারিত হয়; যেমন চিত্র 9 এবং মন্তব্য 5.2 দেখুন। এটি সমস্ত মাত্রায় ক্রেইন-মোজার উপপাদ্যের একটি টপোলজিকাল প্রমাণ দেয় এবং প্রকৃতপক্ষে এটিকে হাইপারবোলিক ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে, ওয়ানেনবার্গার ম্যাট্রিসের ক্ষেত্রে, ভূমিকাতে উপপাদ্য A প্রমাণ করে।

তথ্যসূত্র

[Ab01] অ্যাবন্ড্যান্ডোলো, আলবার্তো। হ্যামিল্টোনিয়ান সিস্টেমের জন্য মোর্স তত্ত্ব। চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল/সিআরসি রিসার্চ নোটস ইন ম্যাথমেটিক্স, 425. চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল/সিআরসি, বোকা রেটন, এফএল, 2001। xii+189 পিপি। আইএসবিএন: 1-58488- 202-6

[Ay22] Aydin, Cengiz. ব্যাবিলনীয় চন্দ্র পর্যবেক্ষণ থেকে ফ্লোকেট গুণক এবং কনলি-জেহন্ডার সূচক। প্রিপ্রিন্ট arXiv:2206.07803, 2022।

[AFKM] আয়দিন, চেঙ্গিজ; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; মোরেনো, অগাস্টিন। স্পেস মিশন ডিজাইনে সিমপ্লেটিক পদ্ধতি। 2023 AAS/AIAA অ্যাস্ট্রোডাইনামিক্স বিশেষজ্ঞ সম্মেলনের কার্যপ্রণালী, 2023।

[Br69] Broucke, R. উপবৃত্তে পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের স্থায়িত্ব, সীমাবদ্ধ তিন-শরীরের সমস্যা। AIAA J. 7,1003 (1969)।

[Eke90] Ekeland, Ivar. হ্যামিলটোনিয়ান মেকানিক্সে উত্তল পদ্ধতি। Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [গণিত এবং সম্পর্কিত এলাকায় ফলাফল (3)], 19. স্প্রিংগার-ভারলাগ, বার্লিন, 1990. x+247 pp. ISBN: 3-540-50613-6

[এফএম] ফ্রয়েনফেল্ডার, উরস; মোরেনো, অগাস্টিন। সিমপ্লেটিক গ্রুপের জিআইটি ভাগফলের উপর, পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের স্থায়িত্ব এবং বিভাজন, সিমপ্লেটিক জ্যামিতির জার্নাল। প্রদর্শিত.

[এফএমবি] ফ্রুয়েনফেল্ডার, উরস; মোরেনো, অগাস্টিন। দ্বিগুণ প্রতিসম পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথে। Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, 135 (2023), no. 2, কাগজ নং 20।

[HD98] হাওয়ার্ড, জেমস ই.; ডুলিন, হোলগার আর. প্রাকৃতিক সিমপ্লেটিক মানচিত্রের রৈখিক স্থায়িত্ব। ফিজ। লেট. A 246 (1998), নং। 3-4, 273-283।

[HM87] হাওয়ার্ড, জেই; ম্যাককে, আরএস হ্যামিলটোনিয়ান সিস্টেমের ভারসাম্যের জন্য রৈখিক স্থিতিশীলতার সীমানা গণনা। ফিজ। লেট. A 122 (1987), নং। ৬-৭, ৩৩১–৩৩৪।

Kre1] Krein, M.: পর্যায়ক্রমিক সহগ সহ রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে এএম লিয়াপুনভের নির্দিষ্ট তদন্তের সাধারণীকরণ। ডকলাদি আকদ। নাউক ইউএসএসআর 73 (1950) 445-448।

Kre2] Krein, M.: মনোড্রমি ম্যাট্রিক্সের তত্ত্বে একটি বীজগণিত প্রস্তাবনার প্রয়োগের উপর। Uspekhi Math. নাউক 6 (1951) 171-177।

ক্রেইন, এম. ইউক্রেনীয় গণিত। জার্নাল 3 (1951) 164-173।

[Kre4] Krein, M.: চরিত্রগত সংখ্যা এবং Liapunov স্থিতিশীলতা অঞ্চলের জন্য কিছু সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন সমস্যার উপর। প্রিকল গণিত মেখ. 15 (1951) 323-348।

[M78] Moser, Jürgen. সিমপ্লেটিক জ্যামিতিতে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু উপপাদ্য। অ্যাক্টা ম্যাথ। 141 (1978), নং। 1-2, 17-34।

(A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Germany ইমেল ঠিকানা: [email protected]

(F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Germany ইমেল ঠিকানা: [email protected]