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付録A. 安定性、クライン・モーザー定理、改良点と参考文献

に Graph Theory5m2024/06/04

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研究者たちは、位相的/組み合わせ的方法を用いてクライン＝モーザー定理を改良し、ハミルトン系の線形安定性と分岐を研究しています。

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著者:

（１）アグスティン・モレノ

（２）フランチェスコ・ルシェリ

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付録A. 安定性、クライン＝モーザー定理、および改良

ここでは、GIT シーケンスが周期軌道の (線形) 安定性を位相的にどのようにエンコードするかを説明し、それをクラインの理論の基本概念およびクライン-モーザー安定性定理と比較します。また、定理 A を取得する方法についても説明します。

エケランドの著書[Eke90]の説明に従う（[Ab01]も参照）。線形シンプレクティック常微分方程式を考える。

R(T)が（強く）安定である場合にのみ、常微分方程式x˙ = JA(t)xは（強く）安定であることを示すことができる[Eke90]。さらに、安定性はR(T)が対角化可能（つまり、すべての固有値が半単純）であり、そのスペクトルが単位円内にあることと同等である[Eke90]。

ここで、シンプレクティック行列 R の固有値の楕円ペア {λ, λ} を考えてみましょう。すると、R に近い他のシンプレクティック行列も、単位円内に ±1 とは異なる単純固有値を持つことになります (そうでない場合、すべての固有値は 4 つに分岐するため、固有値は 2 つに分岐する必要がありますが、これは固有空間が 1 次元の場合は不可能です)。したがって、この状況では、R は強く安定しています。より多重度の高い固有値のケースは、クラインの理論によって処理されます。2 つの楕円固有値が一緒になるたびに、円から抜け出して複素 4 つに遷移することが不可能な場合の基準が与えられます。これは次のように機能します。

x, yが対応する固有ベクトルである場合。さらに、一般化固有空間を考えると、

定義 A.2. (クレイン正値/負値) λ が |λ| = 1 であるシンプレクティック行列 R の固有値である場合、Gλ のシグネチャ (p, q) は λ のクレイン型またはクレインシグネチャと呼ばれます。q = 0、つまり Gλ が正定値である場合、λ はクレイン正であると言われます。p = 0、つまり Gλ が負定値である場合、λ はクレイン負であると言われます。λ がクレイン負またはクレイン正である場合、それはクレイン定値であると言われます。それ以外の場合は、それはクレイン不定値であると言われます。

λ がクライン型 (p, q) であれば、λ はクライン型 (q, p) である [Eke90]。λ が |λ| = 1 を満たし、半単純でない場合、クライン不定値であることは簡単に示せる [Eke90]。さらに、±1 は固有値であれば常にクライン不定値である。なぜなら、それらは実固有ベクトル x を持ち、したがって G 等方性、すなわち G(x, x) = 0 であるからである。以下は、もともと [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] でクラインによって証明され、独立に [M78] でモーザーによって再発見されたが、クライン理論による強安定性の特徴付けを与えるものである。

定理 3 (クライン・モーザー)。Rが強く安定するのは、それが安定であり、そのすべての固有値がクライン定数値である場合に限ります。

証明については[ Eke90 ]を参照してください。これは、上で説明したように、すべての固有値が単純で、±1とは異なり、単位円内にある場合を一般化していることに注意してください。GITシーケンスがクライン理論と結びつく方法は次のとおりです。

命題A.1 ([FM])ウォネンブルガー行列の場合、クライン署名は楕円固有値のB署名と一致する。

例A.3.命題A.1を説明する簡単な例として、ウォネンブルガー行列を考える。

クライン＝モーザー定理と命題A.1の系として、次の結果が得られます。

定理 4. R をウォネンブルガー行列とします。R が強安定であるためには、R が安定であり、そのすべての固有値が B 定数値である必要があります。

高次元では、ウォネンブルガー行列の与えられた高多重度楕円型または双曲型固有値が複素四重項に摂動できるかどうかは、その B 符号が定常であるかどうかによって決まります。たとえば、図 9 および注釈 5.2 を参照してください。これは、すべての次元におけるクラインとモーザーの定理の位相的証明を与え、実際、ウォネンブルガー行列の場合には双曲型の場合にそれを一般化し、「はじめに」の定理 A を証明します。