Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

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• Abstrakt
• Einführung
• Vorbemerkungen
• Die B-Signatur
• GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen
• GIT-Sequenz: beliebige Dimension
• Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem und Verfeinerungen

Nun erklären wir, wie die GIT-Folge die (lineare) Stabilität periodischer Bahnen topologisch kodiert, und vergleichen sie mit den Grundbegriffen der Krein-Theorie und dem Stabilitätssatz von Krein–Moser. Wir erklären auch, wie man Satz A erhält.

Wir folgen der Darstellung in Ekelands Buch [Eke90] (siehe auch [Ab01]). Betrachten Sie eine lineare symplektische Differentialgleichung

Man kann zeigen, dass die Differentialgleichung x˙ = JA(t)x genau dann (stark) stabil ist, wenn R(T) (stark) stabil ist [Eke90]. Darüber hinaus ist Stabilität äquivalent dazu, dass R(T) diagonalisierbar ist (d.h. alle Eigenwerte sind halb-einfach) und sein Spektrum im Einheitskreis liegt [Eke90].

Betrachten wir nun ein elliptisches Paar {λ, λ} von Eigenwerten einer symplektischen Matrix R. Dann wird jede andere symplektische Matrix in der Nähe von R auch einfache Eigenwerte im Einheitskreis haben, die von ±1 verschieden sind (sonst müsste sich ein Eigenwert in zwei aufspalten, da jeder Eigenwert in Quadrupeln vorkommt, was bei eindimensionalen Eigenräumen nicht möglich ist). Daher ist R in dieser Situation stark stabil. Der Fall von Eigenwerten mit höherer Multiplizität wird über die Krein-Theorie behandelt. Immer wenn zwei elliptische Eigenwerte zusammenkommen, ergibt dies ein Kriterium dafür, wann sie unmöglich den Kreis verlassen und in ein komplexes Quadrupel übergehen können. Dies funktioniert wie folgt.

wenn x, y die entsprechenden Eigenvektoren sind. Wenn wir außerdem die verallgemeinerten Eigenräume betrachten

Definition A.2. (Krein-Positivität/Negativität) Wenn λ ein Eigenwert der symplektischen Matrix R mit |λ| = 1 ist, dann wird die Signatur (p, q) von Gλ als Krein-Typ oder Krein-Signatur von λ bezeichnet. Wenn q = 0, d. h. Gλ ist positiv definit, dann heißt λ Krein-positiv. Wenn p = 0, d. h. Gλ ist negativ definit, dann heißt λ Krein-negativ. Wenn λ entweder Krein-negativ oder Krein-positiv ist, dann nennen wir es Krein-definit. Andernfalls nennen wir es Krein-indefinit.

Wenn λ vom Krein-Typ (p, q) ist, dann ist λ vom Krein-Typ (q, p) [Eke90]. Wenn λ |λ| = 1 erfüllt und nicht halb-einfach ist, dann ist es leicht zu zeigen, dass es Krein-indefinit ist [Eke90]. Darüber hinaus sind ±1 immer Krein-indefinit, wenn sie Eigenwerte sind, da sie reelle Eigenvektoren x haben, die daher G-isotrop sind, d. h. G(x, x) = 0. Das Folgende, ursprünglich von Krein in [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] bewiesen und unabhängig davon von Moser in [M78] wiederentdeckt, gibt eine Charakterisierung der starken Stabilität in Begriffen der Krein-Theorie:

Satz 3 (Krein–Moser). R ist genau dann stark stabil, wenn es stabil ist und alle seine Eigenwerte Krein-definit sind.

Siehe [ Eke90 ] für einen Beweis. Beachten Sie, dass dies den Fall verallgemeinert, in dem alle Eigenwerte einfach sind, sich von ±1 unterscheiden und im Einheitskreis liegen, wie oben diskutiert. Die GIT-Sequenz ist nun wie folgt mit der Krein-Theorie verknüpft.

Proposition A.1 ([FM]). Für eine Wonenburger-Matrix stimmt die Krein-Signatur mit der B-Signatur für elliptische Eigenwerte überein.

Beispiel A.3. Als einfaches Beispiel zur Veranschaulichung von Proposition A.1 betrachten wir die Wonenburger-Matrizen

Als Folgerung aus dem Krein-Moser-Theorem und der Proposition A.1 erhalten wir Folgendes.

Theorem 4. Sei R eine Wonenburger-Matrix. Dann ist R genau dann stark stabil, wenn es stabil ist und alle seine Eigenwerte B-definit sind.

In höheren Dimensionen wird die Frage, ob ein gegebener hochmultiplizitäts elliptischer oder hyperbolischer Eigenwert einer Wonenburger-Matrix zu einem komplexen Quadrupel gestört werden kann, dadurch bestimmt, ob seine B-Signatur eindeutig ist oder nicht; siehe z. B. Abbildung 9 und Bemerkung 5.2. Dies liefert einen topologischen Beweis des Krein-Moser-Theorems in allen Dimensionen und verallgemeinert ihn tatsächlich für den hyperbolischen Fall, im Fall von Wonenburger-Matrizen, wodurch Theorem A in der Einleitung bewiesen wird.

Verweise

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[FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Über doppelt symmetrische periodische Umlaufbahnen. Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, 135 (2023), Nr. 2, Beitrag Nr. 20.

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[HM87] Howard, JE; MacKay, RS Berechnung linearer Stabilitätsgrenzen für Gleichgewichte hamiltonscher Systeme. Phys. Lett. A 122 (1987), Nr. 6-7, 331–334.

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[M78] Moser, Jürgen. Ein Fixpunktsatz in der symplektischen Geometrie. Acta Math. 141 (1978), Nr. 1-2, 17–34.

(A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Deutschland E-Mail-Adresse: [email protected]

(F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Deutschland E-Mail-Adresse: [email protected]