Автори:
(1) Джендрік Восс, Інститут структурної механіки та динаміки Дортмундського технічного університету та автор-кореспондент ([email protected]);
(2) Джанлука Ріцці, Інститут структурної механіки та динаміки Дортмундського технічного університету;
(3) Патріціо Нефф, кафедра нелінійного аналізу та моделювання, факультет математики, Університет Дуйсбурга-Ессена;
(4) Анджела Мадео, Інститут структурної механіки та динаміки Дортмундського технічного університету.
Таблиця посилань
1.1 Метаматеріал на основі поліетилену для акустичного контролю
2 Розслаблене мікроморфне моделювання метаматеріалів кінцевого розміру
2.1 Тетрагональна симетрія / Форма пружних тензорів (у нотації Фойгта)
4 Нові міркування щодо розслаблених мікроморфних параметрів
4.2 Узгодженість розслабленої мікроморфної моделі щодо зміни розміру елементарної комірки
4.3 Розслаблені мікроморфні відсікання
6 Підгонка розслаблених мікроморфних параметрів із кривизною (з Curl P)
8 Узагальнення отриманих результатів
9 Висновки та перспективи, подяки та література
Найзагальніший тензор 4-го порядку, що належить до класу тетрагональної симетрії
B Коефіцієнти для дисперсійних кривих без Curl P
C Коефіцієнти для дисперсійних кривих з P
D Коефіцієнти для дисперсійних кривих з P
Анотація
Ми представляємо розслаблену мікроморфну модель із доповненою інерцією, яка збагачує розслаблену мікроморфну модель, раніше введену авторами через термін Curl P˙ у щільності кінетичної енергії. Ця розширена модель дозволяє нам отримати гарну загальну підгонку дисперсійних кривих, одночасно вводячи нову можливість опису мод із негативною груповою швидкістю, які, як відомо, викликають негативні ефекти заломлення. Модель з доповненою інерцією також надає більше свободи щодо значень асимптот, що відповідають граничним значенням. У попередній версії розслабленої мікроморфної моделі асимптота однієї кривої (тиску або зсуву) завжди обмежена відсіканням наступної кривої такого ж типу. Це обмеження більше не діє в розширеній версії моделі. Хоча підгонка отриманих кривих загалом має гарну якість, ідеальна кількісна узгодженість все одно повинна бути досягнута для дуже малих довжин хвиль, близьких до розміру елементарної комірки.
1 Вступ
Метаматеріали — це матеріали, механічні властивості яких виходять за межі класичних матеріалів завдяки їх гетерогенній мікроструктурі. Вони можуть виявляти незвичайні статичні/динамічні реакції, такі як негативний коефіцієнт Пуассона [27], скручування або вигин у відповідь на штовхання або потягування [18, 36], зазори [28, 46, 8, 13], маскування [11, 31], фокусування [20, 16], каналізація [24, 45], негативне заломлення [52, 25, 47] тощо. Робоча частота кожного метаматеріалу сильно залежить від характерного розміру та геометрії елементарної комірки, а також від вибору основного матеріалу. У цій статті ми представляємо лабіринтовий метаматеріал, який завдяки використанню матеріалу на полімерній основі та оптимізованому розподілу маси всередині елементарної комірки (див. рисунок 1) створює широку акустичну заборонену зону з характерним розміром елементарної комірки порядку сантиметрів.
Пряме кінцево-елементне моделювання структур, створених за допомогою цього лабіринтового метаматеріалу, неможливо через надзвичайно щільну сітку, яка потрібна для правильного покриття вузьких смужок матеріалу всередині кожної елементарної комірки. Таким чином, очевидна потреба в однорідній моделі для використання цього типу дуже перспективних метаматеріалів у реальних інженерних конструкціях. Було розроблено різні методи гомогенізації з метою забезпечення точного прогнозування механічної реакції макроскопічного метаматеріалу, коли відомі властивості основних матеріалів та їх просторовий розподіл. Було показано, що ці підходи гомогенізації є корисними для опису загальної поведінки метаматеріалів у статичному та квазістатичному режимах [6, 40, 3, 30, 21, 48, 35, 9, 12, 44, 29, 19, 22], а також, нещодавно, в динамічному режимі [5, 14, 10, 15, 4, 23, 49, 50, 51, 42, 41, 43]. Однак ці моделі часто не підходять для метаматеріалів кінцевого розміру, оскільки вони засновані на техніках масштабування, дійсних для необмежених середовищ. Через це структури метаматеріалів кінцевого розміру здебільшого досліджуються за допомогою моделювання кінцевих елементів, яке виконується з використанням безпосередньо мікроструктурованого матеріалу, наприклад [26]. Недоліком цього підходу є те, що витрати на обчислення швидко стають непідйомними (особливо для елементарних комірок, представлених у цій статті), хоча отримані шаблони розповсюдження дуже точні. Це сильно обмежує можливість дослідження великомасштабних або дуже заплутаних геометричних мета-структур.
Щоб подолати цю проблему та відкрити можливість проектування складних мета-структур з використанням метаматеріалу, представленого в цій статті, як основного будівельного блоку, ми пропонуємо використовувати розслаблену мікроморфну модель з доповненою інерцією. Ця модель заснована на розслабленій мікроморфній моделі, яку ми створили раніше [34, 32, 17, 1, 2], і була доповнена новим інерційним членом, що враховує зв’язані просторово-часові похідні тензора мікроспотворень. Розслаблена мікроморфна модель значною мірою довела свою ефективність в описі широкосмугової поведінки багатьох метаматеріалів нескінченного та кінцевого розміру [1, 2, 37, 38, 39] і розширена в цій статті, щоб мати можливість пояснити негативну групову швидкість, чого не було раніше. Ми покажемо, що запропонована модель здатна добре описати реакцію лабіринтового метаматеріалу для широкого діапазону частот (виходячи за межі першої забороненої зони) і хвильових чисел (наближаючись до розміру елементарної комірки) і для всіх напрямків розповсюдження з обмеженою кількістю незалежних від частоти та масштабу основних параметрів. Буде показано, що новий доповнений інерцією член запускає режими з негативними груповими швидкостями, які, як відомо, пов’язані з явищами негативного заломлення. Результати, представлені в цій статті, дозволять нам незабаром представити нові конструкції лабіринтних структур метаматеріалів кінцевого розміру, які можуть контролювати пружну енергію в акустичному режимі для можливого подальшого повторного використання.
1.1 Метаматеріал на основі поліетилену для акустичного контролю
У цьому розділі ми представляємо нову конструкцію елементарної комірки, яка дає початок метаматеріалу для акустичного контролю. Ця елементарна комірка розроблена для досягнення ширини забороненої смуги на відносно низьких частотах (600–2000 Гц), щоб можна було використовувати цільове застосування для акустичного керування. Розглянута елементарна комірка виготовлена з поліетилену, див. Таблиця 1. Порівняно з алюмінієм або титаном, які ми використовували для метаматеріалів, досліджених у [37, 38, 39], поліетилен створює меншу швидкість хвилі, таким чином дозволяючи явищу забороненої зони з’являтися на нижчих частотах.
Подальше зменшення забороненої зони досягається шляхом прийняття геометрії типу лабіринту, див. Рисунок 1. Ця структура представляє тетрагональну симетрію і, таким чином, має зменшену кількість параметрів щодо повністю анізотропної системи. Круглий центр елементарної комірки з’єднаний тонкими стрижнями, що дозволяє важчому центру легко рухатися, таким чином викликаючи явища локального резонансу відносно низьких частот, одночасно забезпечуючи дуже м’яку поведінку макроматеріалу.
Цей документ доступний на arxiv під ліцензією CC BY 4.0 DEED.
