Autores:
(1) Jendrik Voss, Instituto de Mecánica y Dinámica Estructural, Universidad Técnica de Dortmund y autor correspondiente ([email protected]);
(2) Gianluca Rizzi, Instituto de Mecánica y Dinámica Estructural, Universidad Técnica de Dortmund;
(3) Patrizio Neff, Cátedra de Análisis y Modelado No Lineal, Facultad de Matemáticas, Universidad de Duisburg-Essen;
(4) Angela Madeo, Instituto de Mecánica y Dinámica Estructural, Universidad Técnica de Dortmund.
Tabla de enlaces
1.1 Un metamaterial a base de polietileno para el control acústico
2 Modelado micromórfico relajado de metamateriales de tamaño finito
2.1 Simetría tetragonal / Forma de los tensores elásticos (en notación Voigt)
4 Nuevas consideraciones sobre los parámetros micromórficos relajados
4.3 Puntos de corte micromórficos relajados
6 Ajuste de los parámetros micromórficos relajados con curvatura (con Curl P)
8 Resumen de los resultados obtenidos
9 Conclusión y perspectivas, agradecimientos y referencias
Un tensor de cuarto orden más general que pertenece a la clase de simetría tetragonal
B Coeficientes para las curvas de dispersión sin Curl P
C Coeficientes para las curvas de dispersión con P
Coeficientes D para las curvas de dispersión con P
Abstracto
Presentamos un modelo micromórfico relajado aumentado por inercia que enriquece el modelo micromórfico relajado previamente introducido por los autores mediante un término Curl P˙ en la densidad de energía cinética. Este modelo enriquecido nos permite obtener un buen ajuste general de las curvas de dispersión, a la vez que introduce la nueva posibilidad de describir modos con velocidad de grupo negativa que se sabe que desencadenan efectos de refracción negativos. El modelo aumentado por inercia también permite mayor libertad en los valores de las asíntotas correspondientes a los puntos de corte. En la versión anterior del modelo micromórfico relajado, la asíntota de una curva (de presión o de cizallamiento) siempre estaba limitada por el punto de corte de la siguiente curva del mismo tipo. Esta restricción ya no se cumple en la versión mejorada del modelo. Si bien el ajuste de las curvas obtenidas es de buena calidad general, aún se debe alcanzar una concordancia cuantitativa perfecta para longitudes de onda muy pequeñas cercanas al tamaño de la celda unitaria.
1 Introducción
Los metamateriales son materiales cuyas propiedades mecánicas van más allá de las de los materiales clásicos gracias a su microestructura heterogénea. Pueden mostrar respuestas estáticas/dinámicas inusuales como el coeficiente de Poisson negativo [27], torsión o flexión en respuesta a ser empujado o tirado [18, 36], brechas de banda [28, 46, 8, 13], encubrimiento [11, 31], enfoque [20, 16], canalización [24, 45], refracción negativa [52, 25, 47], etc. La frecuencia de trabajo de cada metamaterial depende fuertemente del tamaño característico y la geometría de la celda unitaria subyacente, así como en la elección del material base. En este artículo, presentamos un metamaterial laberíntico que, gracias al uso de un material de base polimérica y una distribución optimizada de masa dentro de la celda unitaria (ver Figura 1), da lugar a una amplia brecha de banda acústica con un tamaño de celda unitaria característico del orden de centímetros.
El modelado directo de elementos finitos de estructuras construidas con este metamaterial laberíntico resulta inviable debido al mallado extremadamente estrecho que se requeriría para cubrir correctamente las estrechas franjas de material dentro de cada celda unitaria. Por lo tanto, es evidente la necesidad de un modelo homogeneizado para utilizar este tipo de metamateriales tan prometedores en diseños de ingeniería reales. Se han desarrollado diversas técnicas de homogeneización con el fin de proporcionar predicciones rigurosas de la respuesta mecánica del metamaterial macroscópico cuando se conocen las propiedades de los materiales base y su distribución espacial. Estos enfoques de homogeneización han demostrado ser útiles para describir el comportamiento general de los metamateriales en los regímenes estático y cuasiestático [6, 40, 3, 30, 21, 48, 35, 9, 12, 44, 29, 19, 22] así como, más recientemente, en el régimen dinámico [5, 14, 10, 15, 4, 23, 49, 50, 51, 42, 41, 43]. Sin embargo, estos modelos a menudo no son adecuados para tratar con metamateriales de tamaño finito, porque se basan en técnicas de aumento de escala válidas para medios ilimitados. Debido a eso, las estructuras de los metamateriales de tamaño finito se investigan principalmente mediante simulaciones de elementos finitos que se realizan utilizando directamente el material microestructurado, p. ej. [26]. La desventaja de este enfoque es que el coste computacional se vuelve rápidamente insostenible (especialmente para celdas unitarias como la presentada en este artículo), aunque los patrones de propagación obtenidos son muy precisos. Esto limita considerablemente la posibilidad de explorar metaestructuras geométricas a gran escala o muy complejas.
Para superar este problema y abrir la posibilidad de diseñar metaestructuras complejas utilizando el metamaterial presentado en este artículo como componente básico, proponemos utilizar un modelo micromórfico relajado aumentado por inercia. Este modelo se basa en el modelo micromórfico relajado que establecimos previamente [34, 32, 17, 1, 2] y se ha aumentado con un nuevo término de inercia que considera las derivadas espacio-temporales acopladas del tensor de microdistorsión. El modelo micromórfico relajado ha demostrado ampliamente su eficacia para describir el comportamiento de banda ancha de muchos metamateriales de tamaño infinito y finito [1, 2, 37, 38, 39] y se amplía en este artículo para poder considerar la velocidad de grupo negativa, lo cual no era el caso anteriormente. Demostraremos que el modelo propuesto describe adecuadamente la respuesta del metamaterial laberíntico para un amplio rango de frecuencias (superiores a la primera banda prohibida) y números de onda (aproximados al tamaño de la celda unitaria), así como para todas las direcciones de propagación, con un número limitado de parámetros constitutivos independientes de la frecuencia y la escala. Se demostrará que el nuevo término, aumentado por la inercia, activa modos con velocidades de grupo negativas, asociados a fenómenos de refracción negativa. Los resultados presentados en este artículo nos permitirán presentar próximamente nuevos diseños de estructuras de metamateriales laberínticos de tamaño finito que pueden controlar la energía elástica en el régimen acústico para su posterior reutilización.
1.1 Un metamaterial a base de polietileno para el control acústico
En esta sección, presentamos el diseño de una nueva celda unitaria que da lugar a un metamaterial para el control acústico. Esta celda unitaria está diseñada para lograr una banda prohibida a frecuencias relativamente bajas (600-2000 Hz), lo que permite su aplicación en el control acústico. La celda unitaria considerada está hecha de polietileno (véase la Tabla 1). En comparación con el aluminio o el titanio, que utilizamos para los metamateriales estudiados en [37, 38, 39], el polietileno produce velocidades de onda más bajas, lo que permite la aparición de fenómenos de banda prohibida a frecuencias más bajas.
Se logra una reducción adicional de la brecha de banda mediante la adopción de una geometría de tipo laberinto (véase la Figura 1). Esta estructura presenta una simetría tetragonal y, por lo tanto, presenta un número reducido de parámetros con respecto a un sistema completamente anisotrópico. El centro circular de la celda unitaria está conectado por barras delgadas que permiten que el centro más pesado se mueva fácilmente, dando lugar así a fenómenos de resonancia local de frecuencias relativamente bajas, a la vez que proporciona un comportamiento macromaterial muy suave.
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