GIT 序列：任意维度

链接表

• 抽象的
• 介绍
• 准备工作
• B 签名
• GIT 序列：低维度
• GIT 序列：任意维度
• 附录 A. 稳定性、Krein–Moser 定理以及改进和参考文献

5. GIT序列：任意维度

在这些分量中，有一个特殊的分量，即稳定分量，它对应于稳定的周期轨道。我们将证明它的组合由关联多面体的商所控制。

5.1. 一些实代数几何。考虑具有实系数的 n 次一元多项式空间，即形式为

回想一下，多项式的判别式定义为表达式

例 5.1.对于 n = 3 的情况，每个多项式

可以通过改变变量 y = x − b/3 转换为没有 2 次项的多项式（降阶三次多项式），即形式

注释 5.2。请注意，如果谱中有复四元组，则 Bblock 始终至少有一个形式为 diag(1, −1) 的加数。从双线性形式来看，此矩阵始终具有混合特征。由于特征在非退化双线性形式的空间中连续表现，这意味着相应的四元组不能连接到具有确定特征的双曲或椭圆对的重数为 2 的双曲或椭圆对，同时固定其余特征值。这是暗示 Krein-Moser 定理的主要观察结果，参见附录 A。这也是暗示其对对称轨道的细化（定理 A）的原因。

非规则情况。非规则情况可以类似地处理，尽管组合学更加复杂。实际上，假设 A 具有实特征值

其中我们还允许 ±1 作为特征值，以及复特征值

我们用以下方式表示多重性

关联多面体。稳定区域的边界组合可以按如下方式编码。我们识别简单的特征值

表示特征值 νj 和 νj+1 合并为一个多重性两个特征值，因此对应于由下式给出的多重性收缩

（1，...，1）7→（1，...，2，...，1）。

类似地，另一个括号

−1ν1。 。 。 νj−1{νj,νj+1}。 。 。 νl1 7→ −1ν1。 。 。 {νj−1,νj,νj+1}。 。 。 νl1

表示特征值 νj−1 与前一个二重特征值合并为三重特征值，因此对应于收缩

（1，…，1，2，…，1）7→（1，…，3，…，1）。

这种构造以显而易见的方式迭代。这里我们还允许特征值与 ±1 结合在一起，即 {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} 是一个有效表达式。请注意，我们使用括号符号来表示括号中元素的顺序无关紧要。迭代此构造将得到一个字符串偏序集（其中所有开括号都伴随着相应的闭括号，并且没有嵌套括号），其中两个字符串 a, b 满足 a ≤ b，如果 b 是通过 a 中的一系列括号运算获得的。然后，这个偏序集通过构造对稳定区域的边界组合进行编码。

现在，以上内容与括号运算密切相关

并像上面一样迭代它们，例如

等等，其中现在有效表达式例如为 ((−1ν1)ν2)ν3(ν41)。括号则是删除表达式中所有内部括号的结果，即通过 (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .) 符号表示，并通过相应置换群的作用（即作用于括号内元素的数量）进行修改，即通过

例如，上述表达式变成{−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}，其中现在括号内的元素的顺序无关紧要。

但是带括号的表达式的组合学由一个非常著名的多面体控制，称为结合多面体。这是 (m − 2) 维凸多面体 K m ，其中每个顶点对应于在 m 个字母的字符串中正确插入开括号和闭括号的一种方式（这意味着它唯一地确定了乘积运算的顺序），而边对应于结合律的一次应用。当箭头指示括号已向右移动时（这是 Tamari 格子），这也可以被视为偏序集。此外，还可以将边标记为

为了从关联多面体中获得稳定区域，我们观察到后者中的许多标签在用括号表示法书写时实际上是等价的。然后我们得出结论：

换句话说，稳定区域与关联多面体的商同胚，我们在此识别那些在括号符号中书写时标签等价的层。低维情况（n = 1、2、3）如图 6 和 7 所示。