Последовательность GIT: произвольное измерение

Таблица ссылок

• Абстрактный
• Введение
• Предварительные сведения
• B-подпись
• Последовательность GIT: малые размеры
• Последовательность GIT: произвольное измерение
• Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

5. Последовательность GIT: произвольное измерение

Среди этих компонент есть особая — стабильная компонента, соответствующая устойчивым периодическим орбитам. Мы покажем, что его комбинаторика определяется фактором ассоциаэдра .

5.1. Немного настоящей алгебраической геометрии. Рассмотрим пространство приведенных многочленов с вещественными коэффициентами степени n, т. е. вида

Напомним, что дискриминант многочлена определяется как выражение

Пример 5.1. Для случая n = 3 каждый полином

может быть преобразовано заменой переменных y = x - b/3 в многочлен без члена степени 2 ( вдавленный кубический многочлен), т.е. вида

Замечание 5.2. Заметим, что если в спектре есть комплексные четверки, то в B-блоке всегда есть хотя бы одно слагаемое видаdiag(1, −1). Если рассматривать эту матрицу как билинейную форму, она всегда имеет смешанную подпись. Поскольку сигнатуры ведут себя непрерывно в пространстве невырожденных билинейных форм, это означает, что соответствующую четверку нельзя соединить с гиперболической или эллиптической парой кратности два определенной сигнатуры, фиксируя при этом остальные собственные значения. Это основное наблюдение, из которого следует теорема Крейна–Мозера, ср. Приложение А. Отсюда же следует и его уточнение для симметричных орбит (теорема А).

Нестандартные случаи. С нерегулярными случаями можно разобраться аналогичным образом, хотя комбинаторика здесь более сложна. Действительно, предположим, что A имеет действительные собственные значения

где мы также допускаем ±1 в качестве собственного значения и комплексные собственные значения

Обозначим кратности через

Ассоциэдр. Граничная комбинаторика стабильной области может быть альтернативно закодирована следующим образом. Определим простые собственные значения

указывает на то, что собственные значения νj и νj+1 объединяются в собственное значение кратности два, и, таким образом, соответствует сжатию кратностей, определяемому формулой

(1,...,1) 7→ (1,...,2,...,1).

Аналогично, дополнительная скобка

−1ν1 . . . νj−1{νj, νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj, νj+1}. . . νl1

указывает на то, что собственное значение νj−1 объединилось с предыдущим собственным значением кратности два в собственное значение кратности три и, таким образом, соответствует сжатию

(1,..., 1, 2,..., 1) 7→ (1,..., 3,..., 1).

Эта конструкция повторяется очевидным образом. Здесь мы также допускаем совпадение собственных значений с ±1, т.е. {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} является допустимым выражением. Обратите внимание, что мы используем скобочные обозначения, чтобы указать, что порядок элементов в скобках не имеет значения. Итерация этой конструкции приводит к частичному множеству строк (в котором все открытые скобки сопровождаются соответствующей закрытой скобкой и нет вложенных скобок), и где две строки a, b удовлетворяют условиям a ≤ b, если b получается последовательностью операции в скобках из a. Затем этот частично упорядоченный набор по построению кодирует граничную комбинаторику стабильной области.

Теперь вышеизложенное тесно связано с операцией взятия скобок.

и повторяя их, как указано выше, например, как

и так далее, где теперь допустимое выражение, например, ((−1ν1)ν2)ν3(ν41). В этом случае скобка является результатом удаления всех внутренних круглых скобок в выражении, т. е. символически через (...(...)....) 7→ (...), и удаления по модулю действием соответствующей группы перестановок. (т.е. действуя на количество элементов внутри скобки), символически через

Например, приведенное выше выражение принимает вид {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, где теперь порядок элементов внутри скобок не имеет значения.

Но комбинаторика выражений со скобками определяется очень известным многогранником, называемым ассоциаэдром. Это (m − 2)-мерный выпуклый многогранник K m , в котором каждая вершина соответствует способу правильной вставки открывающих и закрывающих скобок в строку из m букв (это означает, что он однозначно определяет порядок операций произведения), и ребра соответствуют однократному применению правила ассоциативности. Это также можно рассматривать как частичное множество, когда стрелка указывает на то, что скобки сдвинуты вправо (это решетка Тамари). Кроме того, можно также пометить ребра

Чтобы получить стабильную область из ассоциэдра, мы наблюдаем, что многие метки в последнем фактически эквивалентны, если их записать в скобках. Затем мы делаем вывод:

Другими словами, стабильная область гомеоморфна фактору ассоциэдра, где мы идентифицируем те страты, метка которых становится эквивалентной при записи в скобках. Случаи низкой размерности (n = 1, 2, 3) изображены на рисунках 6 и 7.