GIT-Sequenz: beliebige Dimension

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• Abstrakt
• Einführung
• Vorbemerkungen
• Die B-Signatur
• GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen
• GIT-Sequenz: beliebige Dimension
• Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

5. GIT-Sequenz: beliebige Dimension

Unter diesen Komponenten gibt es eine besondere, die stabile Komponente, die stabilen periodischen Bahnen entspricht. Wir werden zeigen, dass ihre Kombinatorik durch einen Quotienten des Assoziahedrons bestimmt wird.

5.1. Einige reelle algebraische Geometrie. Betrachten Sie den Raum der monischen Polynome mit reellen Koeffizienten und vom Grad n, also der Form

Denken Sie daran, dass die Diskriminante eines Polynoms definiert ist als der Ausdruck

Beispiel 5.1. Für den Fall n = 3 gilt jedes Polynom

kann durch Änderung der Variablen y = x − b/3 in ein Polynom ohne Term zweiten Grades (ein depressives kubisches Polynom) umgewandelt werden, also in der Form

Bemerkung 5.2. Beachten Sie, dass der B-Block immer mindestens einen Summanden der Form diag(1, −1) hat, wenn das Spektrum komplexe Quadrupel enthält. Als Bilinearform betrachtet hat diese Matrix immer eine gemischte Signatur. Da Signaturen sich im Raum nicht-entarteter Bilinearformen kontinuierlich verhalten, bedeutet dies, dass das entsprechende Quadrupel nicht mit einem hyperbolischen oder elliptischen Paar der Multiplizität zwei mit bestimmter Signatur verbunden werden kann, während die verbleibenden Eigenwerte festgelegt werden. Dies ist die Hauptbeobachtung, die den Krein-Moser-Satz impliziert, siehe Anhang A. Dies ist auch das, was seine Verfeinerung für symmetrische Bahnen impliziert (Satz A).

Nichtreguläre Fälle. Die nichtregulären Fälle können ähnlich behandelt werden, obwohl die Kombinatorik komplizierter wird. Nehmen wir tatsächlich an, dass A reelle Eigenwerte hat

wobei wir auch ±1 als Eigenwert zulassen und komplexe Eigenwerte

Wir bezeichnen die Multiplizitäten mit

Das Assoziahedron. Die Randkombinatorik des stabilen Bereichs kann alternativ wie folgt kodiert werden. Wir identifizieren die einfachen Eigenwerte

gibt an, dass die Eigenwerte νj und νj+1 zusammen einen Eigenwert der Vielfachheit zwei ergeben, und entspricht damit der Kontraktion der Vielfachheiten, die gegeben ist durch

(1, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1).

Ebenso eine weitere Klammer

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj , νj+1} . . . νl1

zeigt an, dass der Eigenwert νj−1 mit dem vorherigen Eigenwert der Multiplizität zwei zu einem Eigenwert der Multiplizität drei zusammenfiel und entspricht damit der Kontraktion

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

Diese Konstruktion iteriert auf die offensichtliche Weise. Hier lassen wir auch Eigenwerte mit ±1 zusammenkommen, d. h. {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} ist ein gültiger Ausdruck. Beachten Sie, dass wir die Klammernotation verwenden, um anzuzeigen, dass die Reihenfolge der Elemente in der Klammer irrelevant ist. Das Iterieren dieser Konstruktion führt zu einem Poset von Zeichenfolgen (in dem alle offenen Klammern von einer entsprechenden geschlossenen begleitet werden und es keine verschachtelten Klammern gibt), und wobei zwei Zeichenfolgen a, b a ≤ b erfüllen, wenn b durch eine Folge von Klammeroperationen aus a erhalten wird. Dieses Poset kodiert dann per Konstruktion die Randkombinatorik des stabilen Bereichs.

Das Obige ist eng mit der Operation der Klammeroperationen verbunden.

und iterieren Sie sie, ähnlich wie oben, z. B. als

und so weiter, wobei nun ein gültiger Ausdruck beispielsweise ((−1ν1)ν2)ν3(ν41) ist. Die Klammer ist dann das Ergebnis des Entfernens aller inneren Klammern in einem Ausdruck, also symbolisch über (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .), und des Ausblendens durch die Aktion der entsprechenden Permutationsgruppe (also das Einwirken auf die Anzahl der Elemente innerhalb der Klammer), symbolisch über

Beispielsweise wird der obige Ausdruck zu {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, wobei nun die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Klammern irrelevant ist.

Die Kombinatorik von Ausdrücken mit Klammern wird jedoch von einem sehr bekannten Polytop bestimmt, dem Assoziahedron. Dies ist das (m − 2)-dimensionale konvexe Polytop K m , in dem jeder Scheitelpunkt einer Möglichkeit entspricht, öffnende und schließende Klammern in eine Zeichenfolge aus m Buchstaben korrekt einzufügen (was bedeutet, dass er eindeutig die Reihenfolge der Produktoperationen bestimmt), und die Kanten einer einzelnen Anwendung der Assoziativitätsregel entsprechen. Dies kann auch als Halbordnung betrachtet werden, wenn der Pfeil anzeigt, dass die Klammern nach rechts verschoben wurden (dies ist das Tamari-Gitter). Darüber hinaus kann man die Kanten auch beschriften

Um den stabilen Bereich aus dem Assoziahedron zu erhalten, beobachten wir, dass viele Beschriftungen im letzteren tatsächlich äquivalent sind, wenn sie mit der Klammernotation geschrieben werden. Wir schlussfolgern daraus:

Mit anderen Worten, der stabile Bereich ist homöomorph zu einem Quotienten des Assoziahedrons, wobei wir jene Schichten identifizieren, deren Bezeichnungen äquivalent werden, wenn sie in Klammern geschrieben werden. Die niedrigdimensionalen Fälle (n = 1, 2, 3) sind in den Abbildungen 6 und 7 dargestellt.