GIT dizisi: keyfi boyut

Bağlantı Tablosu

• Soyut
• giriiş
• Ön Hazırlıklar
• B imzası
• GIT dizisi: düşük boyutlar
• GIT dizisi: keyfi boyut
• Ek A. Kararlılık, Krein-Moser teoremi, iyileştirmeler ve Referanslar

5. GIT dizisi: keyfi boyut

Bu bileşenler arasında, kararlı periyodik yörüngelere karşılık gelen özel bir bileşen, kararlı bileşen vardır. Kombinatoriklerinin ilişkisel yüzlünün bir bölümü tarafından yönetildiğini göstereceğiz.

5.1. Bazı gerçek cebirsel geometri. Gerçek katsayılı ve n dereceli monik polinomların uzayını, yani biçimini düşünün

Bir polinomun diskriminantının ifade olarak tanımlandığını hatırlayın.

Örnek 5.1. n = 3 durumu için her polinom

y = x − b/3 değişkenlerinin değiştirilmesi yoluyla derece 2 terimi olmayan bir polinoma ( basınçlı kübik polinom), yani şu şekle dönüştürülebilir:

Açıklama 5.2. Spektrumda karmaşık dörtlüler varsa, o zaman B bloğunun her zaman diag(1, −1) formunun en az bir toplamına sahip olduğunu unutmayın. Çift doğrusal bir form olarak bakıldığında bu matrisin her zaman karışık imzası vardır. İmzalar, dejenere olmayan iki doğrusal formların uzayında sürekli davrandığından, bu, karşılık gelen dörtlü, kalan özdeğerleri sabitlerken, belirli imzanın hiperbolik veya eliptik çokluk iki çiftine bağlanamayacağı anlamına gelir. Krein-Moser teoremini ima eden ana gözlem budur, bkz. Ek A. Bu aynı zamanda onun simetrik yörüngeler için iyileştirilmesi anlamına da gelir (Teorem A).

Düzenli olmayan vakalar Kombinatorikler daha fazla devreye girse de, düzenli olmayan durumlar da benzer şekilde ele alınabilir. Aslında, A'nın gerçek özdeğerlere sahip olduğunu varsayalım

burada özdeğer olarak ±1'e ve karmaşık özdeğerlere de izin veriyoruz

Çoklukları şu şekilde belirtiriz:

İlişkisel yüzlü. Kararlı bölgenin sınır kombinatorikleri alternatif olarak aşağıdaki gibi kodlanabilir. Basit özdeğerleri belirliyoruz

νj ve νj+1 özdeğerlerinin iki özdeğer çokluğunda bir araya geldiğini ve dolayısıyla şu şekilde verilen çoklukların daralmasına karşılık geldiğini gösterir:

(1, . . , 1) 7→ (1, . . , 2, . . . , 1).

Benzer şekilde bir parantez daha

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj, νj+1} . . . νl1

νj−1 özdeğerinin önceki iki özdeğer çokluğu ile bir üç özdeğer çokluğu halinde bir araya geldiğini ve dolayısıyla daralmaya karşılık geldiğini gösterir

(1, . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . , 3, . . . , 1).

Bu yapı bariz bir şekilde yinelenir. Burada özdeğerlerin ±1 ile bir araya gelmesine de izin veriyoruz, yani {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} geçerli bir ifadedir. Parantez içindeki öğelerin sırasının önemsiz olduğunu belirtmek için parantez gösterimini kullandığımızı unutmayın. Bu yapının yinelenmesi, bir dizi dizisiyle sonuçlanır (burada tüm açık parantezler karşılık gelen bir kapalı parantezle birlikte gelir ve iç içe parantez yoktur) ve iki dizi a, b, eğer b bir diziyle elde edilirse a ≤ b'yi karşılar. a'dan parantez işlemleri. Bu poset daha sonra kararlı bölgenin sınır kombinatoriklerini yapı yoluyla kodlar.

Şimdi yukarıdakiler parantez alma işlemleriyle yakından ilgilidir.

ve bunları yukarıdakine benzer şekilde yinelemek, örneğin

ve bunun gibi, burada artık geçerli bir ifade örneğin ((−1ν1)ν2)ν3(ν41) olabilir. Bu durumda parantez, bir ifadedeki tüm iç parantezlerin kaldırılmasının, yani sembolik olarak (. . . (. . .). . .) 7 → (. . .) yoluyla ve karşılık gelen permütasyon grubunun eylemiyle modlamanın sonucudur. (yani parantez içindeki elemanların sayısına etki ederek), sembolik olarak

Örneğin, yukarıdaki ifade {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1} olur, burada artık parantez içindeki öğelerin sırası önemsizdir.

Ancak parantezli ifadelerin kombinatoriği, asosiahedron adı verilen çok iyi bilinen bir politop tarafından yönetilir. Bu, (m − 2) boyutlu dışbükey politop K m'dir ; buradaki her köşe, m harflerinden oluşan bir diziye açma ve kapama parantezlerini doğru şekilde yerleştirmenin bir yoluna karşılık gelir (yani çarpım işlemlerinin sırasını benzersiz bir şekilde belirler) ve kenarlar ilişkisellik kuralının tek uygulamasına karşılık gelir. Bu aynı zamanda ok parantezlerin sağa taşındığını gösterdiğinde (bu Tamari kafesidir) bir poz olarak da görülebilir. Ayrıca kenarları da etiketleyebilirsiniz

İlişkisel yüzlüden kararlı bölgeyi elde etmek için, sonuncudaki birçok etiketin, parantez notasyonuyla yazıldığında aslında eşdeğer olduğunu gözlemliyoruz. Daha sonra şu sonuca varıyoruz:

Başka bir deyişle, kararlı bölge, assosiahedron'un bir bölümüne homeomorfiktir; burada, parantez gösteriminde yazıldığında etiketi eşdeğer hale gelen katmanları belirleriz. Düşük boyutlu durumlar (n = 1, 2, 3) Şekil 6 ve 7'de gösterilmektedir.