Extensions pour les schémas de Hilbert : la pile de modules canoniques

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Contexte de la perspective tropicale
• La construction élargie
• Stabilité du GIT
• Perspective de la pile
• La pile de modules canoniques
• Les références

6. La pile de modules canoniques

6.1 Propriété Properness et Deligne-Mumford

Existence et unicité des limites pour les objets spéciaux. Nous devons établir quelques définitions avant de prouver le résultat auxiliaire suivant sur l'existence et l'unicité des limites pour les éléments spéciaux, ie lorsque la fibre Xη sur le point générique de S est elle-même une fibre spéciale modifiée.

Nous commençons par prouver l’existence et l’unicité des limites dans le premier cas en utilisant le critère valuatif. Soit V la composante irréductible de Xη à l'intérieur de laquelle se trouve P. Notez que puisque P tend vers une codimension supérieure ou égale à une strate de X, alors pour que sa limite soit supportée en douceur dans une extension de (Zη, Xη), il sera nécessaire de développer au moins une ∆-composante dans cette extension. Il existe un lissage depuis l'intérieur de V dans la fibre sur le point générique jusqu'à l'intérieur de cette ∆-composante développée dans une telle extension de (Zη, Xη) si et seulement si cette ∆-composante est égale à V dans la fibre sur le point générique. De plus, s'il n'existe pas de composante ∆ égale à V, alors aucune des coordonnées x, y ou z ne peut tendre vers zéro (car les deux côtés des équations de définition doivent tendre vers zéro).

Propriété Deligne-Mumford. Enfin nous montrons que les deux piles d’objets stables construites ont des automorphismes finis.

Preuve . Cela découle directement des résultats de cette section.

6.2 Un isomorphisme des piles

Nous aurons également besoin du résultat suivant d'Alper et Kresch [AK16].

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant :