Ampliaciones para esquemas de Hilbert: la pila de módulos canónicos

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Antecedentes de la perspectiva tropical
• La construcción ampliada
• Estabilidad GIT
• Perspectiva de pila
• La pila de módulos canónicos
• Referencias

6. La pila de módulos canónicos

6.1 Propiedad y propiedad Deligne-Mumford

Existencia y unicidad de límites para objetos especiales. Necesitamos establecer algunas definiciones antes de probar el siguiente resultado auxiliar sobre la existencia y unicidad de límites para elementos especiales, es decir, cuando la fibra Xη sobre el punto genérico de S es en sí misma una fibra especial modificada.

Comenzamos demostrando la existencia y unicidad de los límites en el primer caso utilizando el criterio valorativo. Sea V la componente irreducible de Xη en cuyo interior se encuentra P. Observe que dado que P tiende hacia una codimensión mayor o igual a un estrato de X, entonces para que su límite quede soportado suavemente en una extensión de (Zη, Xη), será necesario expandir al menos un componente ∆ en esta extensión. Existe un suavizado desde el interior de V en la fibra sobre el punto genérico hasta el interior de esta componente ∆ expandida en tal extensión de (Zη, Xη) si y sólo si esta componente ∆ es igual a V en la fibra. sobre el punto genérico. Además, si no existe tal componente ∆ igual a V, entonces ninguna de las coordenadas x, y o z puede tender a cero (porque ambos lados de las ecuaciones definitorias deben tender a cero).

Propiedad de Deligne-Mumford. Finalmente mostramos que ambas pilas de objetos estables construidas tienen automorfismos finitos.

Prueba . Esto se desprende directamente de los resultados de esta sección.

6.2 Un isomorfismo de pilas

Necesitaremos también el siguiente resultado de Alper y Kresch [AK16].

Ahora estamos en condiciones de demostrar el siguiente teorema: