Mutaciones de resoluciones crepantes no conmutativas: resumen e introducción

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Intercambios y Mutaciones de módulos modificadores.
• Representación cuasisimétrica y cociente GIT.
• Resultados principales
• Solicitudes para intersecciones completas Calabi-Yau
• Apéndice A. Factorizaciones matriciales
• Apéndice B. Lista de notación
• Referencias

1. Introducción

1.1. Antecedentes. Una resolución crepante es una de las mejores modificaciones de singularidades. Esto puede considerarse como un análogo de dimensiones superiores de resoluciones mínimas de singularidades de superficie y, en la terminología de la teoría de modelos mínimos, una resolución crepante puede parafrasearse como un modelo mínimo suave de la singularidad.

Como análogo no conmutativo de la noción de resoluciones crepantes, Van den Bergh introdujo las resoluciones crepantes no conmutativas (= NCCR) [Van2, Van3]. Tanto en el caso conmutativo como en el no conmutativo, la existencia de tal resolución no siempre es cierta. Hay dos grandes clases de singularidades para las cuales el estudio de las NCCR (y las resoluciones crepantes) está bien establecido. Una es la clase de singularidades cocientes que surgen de representaciones cuasisimétricas de grupos reductivos, que se estudió por primera vez en [SV1], y la otra es la clase de singularidades du Val compuestas (triples), estudiadas en [Van1, Wem] . Para investigar esta última clase, Iyama y Wemyss [IW1] introdujeron una operación llamada mutación, que produce un nuevo NCCR a partir del original. Según Kawamata [Kaw], se sabe que todos los modelos mínimos (y por tanto todas las resoluciones crepantes) están conectados mediante fracasos iterados, y las mutaciones pueden considerarse como una contraparte no conmutativa de los fracasos. De hecho, se demuestra en [Wem] que las equivalencias derivadas asociadas a fracasos triples, que se establecen en [Bri, Che], corresponden a equivalencias derivadas asociadas a mutaciones de NCCR. Esta interpretación y la técnica de mutaciones de NCCR proporciona los ingredientes principales para el estudio de las condiciones de estabilidad de Bridgeland para fracasos triples [HW1, HW2].

El objetivo principal de este artículo es importar una tecnología establecida por [IW1] para profundizar el estudio de NCCR para singularidades cocientes que surgen de representaciones cuasi-simétricas, estudiando la combinatoria asociada a la representación y accediendo a las ideas de [ HSa, SV1].

1.2. Intercambios y mutaciones de módulos modificadores. La presente sección, la Sección 1.3 y la Sección 1.4 explican el contexto de este artículo y recuerdan algunas terminologías, notaciones y resultados conocidos que son necesarios para expresar nuestros resultados. Las declaraciones precisas de los principales resultados se dan en la Sección 1.5.

Sea R un anillo de Gorenstein equidimensional normal. Se dice que un módulo R reflexivo M finitamente generado se modifica si el anillo de endomorfismo EndR (M) es Cohen-Macaulay como un módulo R. Una resolución crepante no conmutativa (=NCCR) de R es el anillo de endomorfismo Λ = EndR(M) de algún módulo R modificador M tal que la dimensión global de Λ es finita. Si EndR(M) es una NCCR, decimos que M da una NCCR. El siguiente es uno de los problemas centrales de las NCCR.

Conjetura 1.1 ([Van2]). Sea R un anillo de Gorenstein normal equidimensional. Entonces todas las resoluciones crepantes y todas las NCCR de R se derivan equivalentes. En relación con este problema de equivalencia derivada, Iyama y Wemys

Es natural preguntarse si dos NCCR determinados están conectados por mutaciones (iteradas) o no. Se sabe que, para muchos tipos de singularidades, sus NCCR naturales en realidad están conectados por mutaciones [Har1, Har2, HN, Nak, SV5, Wem]. Uno de los principales objetivos de este artículo es presentar un resultado similar para NCCR asociados al cociente de representaciones cuasi-simétricas, que se recuerdan en la siguiente sección.

se construirá, y usando esto se obtiene

El siguiente es nuestro principal resultado.

Agradecimientos . WH quisiera agradecer al Prof. Michael Wemyss por las discusiones y comentarios. WH recibió el apoyo de la subvención EPSRC EP/R034826/1 y de la subvención ERC Consolidator 101001227 (MMiMMa). YH contó con el apoyo de JSPS KAKENHI 19K14502.