Mutationen nichtkommutativer Crepant-Auflösungen: Zusammenfassung und Einführung

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Austausch und Mutation von modifizierenden Modulen
• Quasisymmetrische Darstellung und GIT-Quotient
• Wichtigste Ergebnisse
• Anwendungen für komplette Kreuzungen von Calabi und Yau
• Anhang A. Matrixfaktorisierungen
• Anhang B. Liste der Notation
• Verweise

1. Einleitung

1.1. Hintergründe. Eine krepante Auflösung ist eine der besten Modifikationen von Singularitäten. Sie kann als höherdimensionales Analogon zu minimalen Auflösungen von Oberflächensingularitäten angesehen werden, und in der Terminologie der Minimalmodelltheorie kann eine krepante Auflösung als glattes Minimalmodell der Singularität umschrieben werden.

Als nichtkommutatives Analogon zum Begriff der Crepant-Auflösungen führte Van den Bergh nichtkommutative Crepant-Auflösungen (= NCCRs) ein [Van2, Van3]. Sowohl in kommutativen als auch in nichtkommutativen Fällen ist die Existenz einer solchen Auflösung nicht immer wahr. Es gibt zwei große Klassen von Singularitäten, für die die Untersuchung von NCCRs (und Crepant-Auflösungen) gut etabliert ist. Eine ist die Klasse der Quotientensingularitäten, die aus quasisymmetrischen Darstellungen reduktiver Gruppen entstehen, die erstmals in [SV1] untersucht wurde, und die andere ist die Klasse der (3-fachen) zusammengesetzten du Val-Singularitäten, die in [Van1, Wem] untersucht wurde. Um die letztere Klasse zu untersuchen, führten Iyama und Wemyss [IW1] eine Operation namens Mutation ein, die aus der ursprünglichen eine neue NCCR erzeugt. Von Kawamata [Kaw] ist bekannt, dass alle Minimalmodelle (und damit alle Crepant-Auflösungen) durch iterierte Flops verbunden sind und Mutationen als nichtkommutatives Gegenstück zu Flops betrachtet werden können. Tatsächlich wird in [Wem] bewiesen, dass die abgeleiteten Äquivalenzen, die mit 3-fachen Flops in Zusammenhang stehen und die in [Bri, Che] aufgestellt wurden, den abgeleiteten Äquivalenzen entsprechen, die mit Mutationen von NCCRs in Zusammenhang stehen. Diese Interpretation und die Technik der Mutationen von NCCRs bilden die Hauptbestandteile für die Untersuchung der Bridgeland-Stabilitätsbedingungen für 3-fachen Flops [HW1, HW2].

Der Hauptzweck dieses Papiers besteht darin, eine solche von [IW1] entwickelte Technologie zu importieren, um das Studium der NCCRs für Quotientensingularitäten, die sich aus quasi-symmetrischen Darstellungen ergeben, zu vertiefen, indem die mit der Darstellung verbundene Kombinatorik untersucht wird und auf die Ideen von [HSa, SV1] zugegriffen wird.

1.2. Austausch und Mutation von modifizierenden Modulen. Dieser Abschnitt sowie Abschnitt 1.3 und Abschnitt 1.4 erläutern den Rahmen dieses Dokuments und erinnern an einige Terminologien, Notationen und bekannte Ergebnisse, die zur Darstellung unserer Ergebnisse erforderlich sind. Die genauen Angaben zu den wichtigsten Ergebnissen finden Sie in Abschnitt 1.5.

Sei R ein normaler gleichdimensionaler Gorensteinring. Ein endlich erzeugtes reflexives R-Modul M heißt modifizierend, wenn der Endomorphismusring EndR(M) Cohen-Macaulay als R-Modul ist. Eine nichtkommutative krepante Auflösung (=NCCR) von R ist der Endomorphismusring Λ = EndR(M) eines modifizierenden R-Moduls M, so dass die globale Dimension von Λ endlich ist. Wenn EndR(M) ein NCCR ist, sagen wir, dass M einen NCCR ergibt. Das Folgende ist eines der zentralen Probleme bei NCCRs.

Vermutung 1.1 ([Van2]). Sei R ein gleichdimensionaler normaler Gorensteinring. Dann sind alle Crepant-Resolutionen und alle NCCRs von R abgeleitet äquivalent. In Bezug auf dieses abgeleitete Äquivalenzproblem haben Iyama und Wemys

Es ist naheliegend zu fragen, ob zwei gegebene NCCRs durch (iterative) Mutationen verbunden sind oder nicht. Es ist bekannt, dass bei vielen Arten von Singularitäten ihre natürlichen NCCRs tatsächlich durch Mutationen verbunden sind [Har1, Har2, HN, Nak, SV5, Wem]. Eines der Hauptziele dieses Artikels ist es, ein ähnliches Ergebnis für NCCRs zu präsentieren, die mit dem Quotienten quasisymmetrischer Darstellungen verbunden sind, die im nächsten Abschnitt erneut besprochen werden.

wird konstruiert, und die Verwendung davon ergibt

Das Folgende ist unser Hauptergebnis.

Danksagungen . WH möchte Prof. Michael Wemyss für Diskussionen und Kommentare danken. WH wurde durch das EPSRC-Stipendium EP/R034826/1 und durch das ERC Consolidator Grant 101001227 (MMiMMa) unterstützt. YH wurde durch JSPS KAKENHI 19K14502 unterstützt.