Combinatoria de estabilidad lineal para sistemas hamiltonianos en dimensión arbitraria: preliminares

Tabla de enlaces

• Abstracto
• Introducción
• Preliminares
• La firma B
• Secuencia GIT: dimensiones bajas
• Secuencia GIT: dimensión arbitraria
• Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias

2. Preliminares

Para recordar la definición de secuencia GIT, necesitamos la siguiente noción.

Definición 2.1 (cociente GIT). Sea G un grupo que actúa sobre un espacio topológico X mediante homeomorfismos. El cociente GIT es el espacio cociente X//G definido por la relación de equivalencia x ∼ y si los cierres de las órbitas G de x e y se cruzan, dotado de la topología del cociente.

En particular, la mitad de la órbita periódica simétrica es una cuerda hamiltoniana (es decir, una trayectoria) desde Fix(ρ) hacia sí misma. Por lo tanto, podemos pensar en una órbita periódica simétrica de dos maneras, ya sea como una cuerda cerrada o como una cuerda abierta desde la Fijación Lagrangiana (ρ) hacia sí misma.

La matriz de monodromía de una órbita simétrica en un punto simétrico es una matriz de Wonenburger, es decir, satisface

dónde

ecuaciones que aseguran que M es simpléctica. Los valores propios de M están determinados por los del primer bloque A (ver [FM]):

Teorema 1 (Wonenburger). Toda matriz simpléctica M ∈ Sp(2n) se conjuga simpléticamente a una matriz de Wonenburger.

En otras palabras, el mapa natural.

es sobreyectivo.

En presencia de una órbita periódica simétrica, el hecho algebraico anterior tiene una interpretación geométrica: la matriz monodromía en cada punto de la órbita (una matriz simpléctica) se conjuga simpléticamente a través del flujo linealizado a la matriz monodromía en cualquiera de los puntos simétricos de la órbita (una matriz de Wonenburger).