非交换性 crepant 解析的突变：修改模块的交换和突变

链接表

• 摘要和简介
• 修改模块的交换和变异
• 准对称表示和 GIT 商
• 主要结果
• 应用于 Calabi-Yau 完全交集
• 附录 A. 矩阵分解
• 附录 B. 符号列表
• 参考

2. 修改模块的交换和变异

2.1非交换 crepant 分解本节回顾了本文所研究的一些基本概念的定义。

（1）若 EndR(M) 是（最大）Cohen-Macaulay R 模块，则自反 R 模块 M 被称为修改模块。

（2）如果自反模块 M 是修改的并且代数 Λ 具有有限的全局维数，我们说 M 给出了非交换的 crepant 解析（=NCCR）Λ = EndR(M)。

注释 2.4.请注意，我们对 NCCR 的定义与 [Van3] 或 [IW1] 中的不同。但是，如果 R 是 d-sCY，我们的定义与其他定义等价。参见 [Van3，引理 4.2] 或 [IW1，引理 2.23]。

从 K ∈ addL 得到，这样导出的态射 α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) 是全射。如果 L = N，我们就称 α 为 M 的右 (addL) 近似。如果满足 α◦φ = α 的任何自态射 φ ∈ End(K) 是自同构，则称 M 的右 (add L)N 近似 α: K → M 是最小的；如果 K 的任何直和数 K′ 不包含在 Ker(α) 中，则称 α 是约化的。注意，如果右近似是最小的，它就是约化的；如果 R 是完全局部的，则反之亦然。

定义 2.6.令 R 为正规 d-sCY, 且令 M, N, L ∈ ref R.

引理 2.7.符号与上文相同

(1)若 L ′ ∈ addL，则存在包含

当限制减少交流时，这仍然是正确的。

(2)若 N′ ∈ add N，则存在包含

当限制减少交流时，这仍然是正确的。

(3)对于另一个完全子范畴 S ′ ⊆ ref R，存在包含

如果 R 是完全局部的，则类似的包含对于减少的交换也成立。

证明。(1)、(2) 和 (3) 中的第一个断言是显而易见的。(3) 中的第二个断言来自这样的事实：如果 R 是完全局部的，则两个近似 α: K → M 和 α ′ : K′ → M′ 被约化当且仅当 α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ 被约化。

证明. 假设 Hom(N, M ⊕ N) 是 Cohen-Macaulay 序列，并考虑一个正合序列

0 → F Ker α → FK → FM → 0。

现在将函子 Hom(−, FR) 应用于此序列，并结合自反等价证明对偶序列

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

是准确的。

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

仍然是精确的。由于原始序列中的所有模块都是自反的，因此自反等价和对偶性产生了同构

以及 K 和 Ker α 的类似同构，这意味着序列的正确性

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

因此对偶态

K∗ → (Ker α) ∗

是右 (添加 L ∗ )N∗ 近似，核为 M∗ ，这证明了第一个断言。第二个断言来自类似的论证。

下面说，在良好的情况下，交换修改模块的直接和数会产生一个新的修改模块。

引理 2.10.令 M ∈ ref R. 以下等价成立。

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

证明。我们可以假设 R 是局部的。由于 M 是自反的，因此只需显示方向 (⇒) 即可。由于 R 是 Gorenstein 的，因此其单射维数是有限的。因此结果由 [BH，命题 3.3.3 (b)] 得出。

引理 2.11.设 R 为 Gorenstein 正规环, 设 M, N ∈ ref R. 则

证明。只需证明方向 (⇒) 即可。设 Hom(M, N) ∈ CM R。则引理 2.10 蕴涵 Hom(M, N) ∗ ∈ CM R。但据引理 [IW1，引理 2.9]，存在同构 Hom(M, N) ∗ ∼= Hom(N, M)，由此可知 Hom(N, M) ∈ CM R。

当 m < 0 的情况的证明类似。

注释 2.13。由于右近似通常不唯一，因此右/左突变也不唯一。但是，右/左突变在加法闭包 [IW1，引理 6.2] 之前是唯一的，并且如果 R 是完全局部的，则最小突变在同构之前是唯一的。

定理 2.14 ([IW1，命题 6.5，定理 6.8，定理 6.10]). 设 M ∈ ref R 为修改 R 模块。

2.3. 倾斜束和突变。本节讨论代数栈上的倾斜束。我们首先回顾代数栈导出类别的一些基本事实。