Mutations de résolutions crépantes non commutatives : applications aux intersections complètes de Calabi-Yau

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Echanges et Mutations de modules modificateurs
• Représentation quasi-symétrique et quotient GIT
• Principaux résultats
• Applications aux intersections complètes Calabi-Yau
• Annexe A. Factorisations matricielles
• Annexe B. Liste des notations
• Les références

5. Applications aux intersections complètes Calabi-Yau

Par conséquent, (5.A) et (5.B) donnent une équivalence

Proposition 5.1. La restriction de (5.F

à une fenêtre magique et au foncteur (5.G)

sont des équivalences.

Puisque le foncteur inférieur est une équivalence d’après le théorème A.5, (5.G l’est aussi).

pour les catégories de factorisation dérivées est une équivalence par le théorème A.5.

Ce qui suit montre que les équivalences des fenêtres magiques générant l’action de groupe (5.D) correspondent à des foncteurs de mutation entre factorisations matricielles non commutatives.

Preuve . Nous montrons seulement que le carré de gauche commute, puisque la commutativité de celui de droite découle d'un argument similaire. Considérons le schéma suivant

navettes, où les équivalences verticales sont les compositions de (5.C) et (5.H).

Lemme 5.5. Il existe un isomorphisme

où le premier isomorphisme découle du lemme A.6. Ceci termine la preuve.

Ce qui suit est une généralisation de [KO, Théorème 8.5], que nous prouvons par un argument similaire à celui de loc. cit.

Lemme 5.6. Le diagramme suivant fait la navette.

Il suffit donc de montrer qu’il existe un isomorphisme naturel

D’après le lemme 5.6, il existe un isomorphisme

Preuve du corollaire 5.3. Pour simplifier, écrivez

L’assertion découle donc du théorème 5.2.

[1] Bien que [HSh] ne discute que des complexes, il existe des foncteurs et des décompositions semi-orthogonales similaires pour les factorisations matricielles par [BFK2], et donc un argument similaire à celui de [HSh] fonctionne dans notre cadre.