Ampliaciones para los proyectos Hilbert: la construcción ampliada

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Antecedentes de la perspectiva tropical
• La construcción ampliada
• Estabilidad GIT
• Perspectiva de pila
• La pila de módulos canónicos
• Referencias

3. La construcción ampliada

Salida de construcción ampliada. La degeneración expandida X[n] ! C[n] que construimos en esta sección tiene las siguientes propiedades:

3.1 Las explosiones

En esta construcción de degeneración ampliada, estaremos destruyendo esquemas a lo largo de los divisores de Weil. Una consecuencia de la forma en que se definen estas ampliaciones es que los morfismos de ampliación contraen solo componentes de codimensión al menos 2.

los morfismos correspondientes a cada explosión individual. Por lo tanto tenemos la igualdad

Ahora arreglamos la siguiente terminología.

Proposición 3.1.5. El siguiente diagrama ampliado conmuta

Prueba . Esto se desprende inmediatamente de la descripción local de las explosiones anteriores.

Ahora ampliamos la definición de componentes ∆1 a los esquemas X[n] y fijamos alguna terminología adicional.

Antes de continuar, arreglamos cierta terminología que nos ayudará a describir los componentes ampliados.

Definición 3.1.11. Nos referimos a un componente irreducible de un componente ∆ como burbuja. Las nociones de dos burbujas iguales y una burbuja expandida en una determinada fibra son las de las Definiciones 3.1.4 y 3.1.9.

Ahora bien, observamos que existe una inclusión natural.

lo que, a su vez, induce una inclusión natural

sobre la base de instrucciones, y actúa por

en los componentes ∆.

Prueba . Esto se desprende inmediatamente de [GHH19].

que describimos en la sección anterior son equivariantes bajo la acción grupal.

Lema 3.1.13. Tenemos el isomorfismo

Prueba . Esto es inmediato a partir de la descripción anterior de la acción grupal.

Observación 3.1.14. Abusamos ligeramente de la notación al referirnos al grupo que actúa sobre X[n] mediante G, en lugar de G[n]. Siempre debe quedar claro a partir del contexto a qué se refiere el grupo G.

3.2 Incrustación en producto de haces proyectivos

Lema 3.2.1. Hay una incrustación

De esto deducimos que existen incrustaciones

Por lo tanto tenemos incrustaciones

Linealizaciones . El siguiente lema proporciona un método para construir todos los paquetes de líneas linealizadas que necesitaremos para variar la condición de estabilidad de GIT.